Здесь необходимо дать строгое определение модуля числа, рассмотреть геометрический смысл модуля как расстояния на числовой прямой. Привести примеры вычисления модуля для различных чисел (положительных, отрицательных, нуля). Объяснить, что модуль всегда является неотрицательным числом. Важно подчеркнуть связь между модулем и знаком числа.

Перечислить и проиллюстрировать основные свойства модуля: |a| ≥ 0, |a * b| = |a| * |b|, |a / b| = |a| / |b| (при b ≠ 0), |a + b| ≤ |a| + |b|, |a - b| ≥ ||a| - |b||. Привести примеры применения этих свойств для упрощения выражений и оценки значений.

Описать основной метод раскрытия модуля: |a| = a, если a ≥ 0, и |a| = -a, если a < 0. Подчеркнуть необходимость рассмотрения двух случаев. Показать примеры раскрытия модуля для простых выражений, например, |x|, |x - 2|, |2x + 1|.

Разложить решение уравнений вида |f(x)| = a на этапы: проверка допустимых значений (a ≥ 0), рассмотрение двух случаев: f(x) = a и f(x) = -a, решение каждого случая отдельно, проверка полученных решений.

Рассмотреть решение уравнений вида |f(x)| = |g(x)|, которое сводится к двум случаям: f(x) = g(x) и f(x) = -g(x). Необходимо приводить примеры и подробно объяснять каждый шаг решения, акцентируя внимание на проверке.

Изложить метод решения неравенств вида |f(x)| < a, который сводится к двойному неравенству: -a < f(x) < a. Привести примеры решения таких неравенств, объясняя, как находить область решений и проверять корректность полученного результата.

Описать метод решения неравенств вида |f(x)| > a, которое сводится к совокупности двух неравенств: f(x) > a и f(x) < -a. Важно подчеркнуть, что нужно рассматривать оба случая раздельно и объединять полученные решения.

Рассмотреть графический метод решения уравнений и неравенств с модулем, основанный на интерпретации модуля как расстояния на числовой прямой. Объяснить, как строить графики функций с модулем и находить решения.

Перечислить наиболее распространенные ошибки при решении уравнений и неравенств с модулем: забывание о рассмотрении двух случаев, неправильное раскрытие модуля, ошибки при решении полученных уравнений и неравенств, непроверка полученных решений.

Привести несколько подробно разобранных примеров решения уравнений и неравенств с модулем различной степени сложности. Разбор должен включать все этапы решения: раскрытие модуля, решение полученных уравнений/неравенств, проверка полученных решений, анализ области определения.