В разделе объясняется, какое место занимает 19 задание в структуре профильного ЕГЭ по математике и почему для его решения необходимы знания о числах и делимости. Формулируются основные направления изучения: свойства числовых множеств, разложение на множители, остатки, ограничения и логический перебор. Также обозначаются критерии качественного решения: полнота рассуждений, проверка всех случаев и точная запись ответа.

Пункт посвящён понятиям натуральных и целых чисел, сравнению чисел, чётности и операциям с ними. Рассматриваются делители и кратные, связь между делением и остатком, а также способы записи числовых условий. Эти сведения необходимы для перевода текста задачи в математическую форму и дальнейшего выделения допустимых значений неизвестных.

Здесь систематизируются свойства делимости и наиболее употребительные признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 10 и другие числа. Объясняется, как использовать последние цифры, суммы цифр и последние разряды числа для быстрого отсева неподходящих вариантов. Материал сопровождается примерами применения признаков в условиях с неизвестными цифрами.

В разделе раскрываются определения простого и составного числа, основная теорема арифметики и порядок разложения числа на простые множители. Показано, как факторизация помогает находить количество делителей, проверять взаимную простоту и преобразовывать условия задач. Отдельно отмечаются типичные ошибки при пропуске множителей и неверном учёте их степеней.

Пункт знакомит со способами нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Рассматриваются разложение на простые множители и алгоритм Евклида, основанный на последовательном делении с остатком. Объясняется связь НОД и НОК с взаимной простотой, а также применение этих понятий в задачах о периодах, делителях и общих кратных.

В этом разделе изучается представление числа через частное и остаток, а также базовые правила действий с остатками. Показано, как исследовать чётность, последние цифры, степени и квадраты с помощью сравнений по модулю. Отдельное внимание уделяется выбору подходящего модуля, который сокращает перебор и позволяет доказать невозможность определённых значений.

Раздел переводит теоретические правила в последовательность действий при решении экзаменационной задачи. Описываются этапы чтения условия, введения обозначений, выделения ограничений, выбора признака делимости или модуля и организации перебора. Для каждого этапа указываются способы самопроверки, позволяющие обнаружить потерянные случаи и необоснованные переходы.

В пункте рассматриваются характерные задачи 19 задания: на неизвестные цифры, делители, остатки, степени, НОД, НОК и последовательности чисел. Каждый пример разбирается по шагам с объяснением выбора метода, проверкой ограничений и анализом альтернативных случаев. В конце приводятся распространённые ошибки и рекомендации по оформлению полного решения.

В заключении обобщаются методы, которые позволяют решать числовые задачи ЕГЭ: признаки делимости, факторизация, работа с НОД и НОК, сравнения по модулю и контролируемый перебор. Отмечается значение последовательного анализа условия и обязательной проверки ответа. Также формулируются навыки, которые следует закреплять регулярным решением задач разных типов.

В список литературы включаются официальные материалы ФИПИ, действующие спецификация и демонстрационный вариант профильного ЕГЭ, школьные учебники алгебры и теории чисел, а также проверенные сборники тренировочных заданий. Для каждого источника указываются автор, название, год издания или адрес электронного ресурса и дата обращения к нему.