В этом пункте обозначается тема проекта и объясняется, почему при изучении вероятностей важно не только находить среднее значение, но и оценивать разброс возможных результатов. Здесь формулируются проблема, цель и задачи, уточняется аудитория материала и указывается, какие примеры бинарных случайных величин будут использованы для объяснения дисперсии и её свойств.

Раздел вводит понятие случайной величины, которая может принимать только два значения, и показывает, как задаются её возможные исходы и вероятности. На примерах успеха и неудачи, ответа «да» или «нет» объясняется модель Бернулли. Отдельно рассматриваются обозначения p и 1−p, необходимые для последующего вывода формул математического ожидания и дисперсии.

В пункте раскрывается связь между математическим ожиданием и дисперсией: сначала определяется среднее значение случайной величины, затем вводится средний квадрат отклонения от этого значения. Приводятся общие формулы D(X)=E[(X−E(X))²] и D(X)=E(X²)−[E(X)]². Поясняется, почему дисперсия не бывает отрицательной и почему она измеряется в квадрате исходных единиц.

Здесь последовательно выводится формула дисперсии для величины со значениями 0 и 1, вероятности которых равны 1−p и p. Используя равенство X²=X, вычисляются математическое ожидание и второй момент, после чего получается D(X)=p(1−p). Также рассматривается вариант, когда два возможных значения равны a и b, и поясняется влияние расстояния между ними на разброс.

Раздел систематизирует свойства, которые позволяют упрощать вычисления и проверять ответы. Рассматриваются неотрицательность дисперсии, равенство нулю для постоянной величины и формула D(aX+b)=a²D(X). Объясняется сложение дисперсий независимых величин и уточняется, что при зависимости необходимо учитывать ковариацию. Для каждого свойства приводится короткое пояснение его условий.

В практической части рассматриваются понятные ситуации с двумя исходами, например результат одного броска монеты или наличие заданного признака. Для каждого примера задаются значения случайной величины и вероятности исходов, затем рассчитываются математическое ожидание и дисперсия. Сопоставление случаев с разными вероятностями помогает увидеть, как меняется разброс и почему при равновероятных исходах он наибольший.

Пункт посвящён пошаговому решению задач: от выбора модели и записи вероятностей до подстановки значений в формулу. В примерах применяется формула p(1−p), а также свойства преобразования случайной величины и сложения дисперсий независимых величин. Отдельное внимание уделяется проверке условий задачи, аккуратной записи единиц и объяснению полученного числа без подмены дисперсии стандартным отклонением.

Здесь результаты практических вычислений сравниваются с теоретическими свойствами: проверяется неотрицательность дисперсии, её нулевое значение при достоверном исходе и максимум при равных вероятностях для значений 0 и 1. Рассматриваются частые ошибки: путаница между p и 1−p, пропуск квадрата отклонения и неверное сложение дисперсий зависимых величин. Этот анализ помогает обосновать корректность расчётов.

В заключительном пункте кратко обобщаются полученные сведения о смысле дисперсии, формуле для бинарной случайной величины и условиях применения её основных свойств. Отмечается, какие вычислительные приёмы были проверены на примерах и как соотношение между вероятностями влияет на разброс. Заключение связывает теоретические определения с практическими задачами и фиксирует результаты проекта без введения новых понятий.

В этом пункте перечисляются использованные учебники, справочные материалы и проверенные образовательные источники по теории вероятностей. Для каждого источника указываются автор или организация, название и необходимые выходные данные; для интернет-ресурсов — название страницы и адрес. Список позволяет проверить определения и формулы, использованные в изложении, и показывает основу для самостоятельного изучения темы.