• Математика
• 10 класс

Логарифм числа b по основанию a — показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b; основание должно быть положительным и не равняться 1. Логарифмические шкалы сжимают очень широкий диапазон значений, поэтому изменение показателя на одну единицу может соответствовать многократному, а не одинаковому прибавлению исходной величины. В шкале pH используется формула pH = −log₁₀[H⁺], где [H⁺] — концентрация ионов водорода в растворе. Уровень звука в децибелах для интенсивности выражают формулой L = 10log₁₀(I/I₀), поэтому разница в 10 дБ соответствует десятикратному отношению интенсивностей. В классической шкале Рихтера увеличение магнитуды на единицу связано примерно с десятикратным увеличением амплитуды зарегистрированных сейсмических волн; современные оценки землетрясений часто используют магнитуду моментного типа.

Ключевые факты

1. В информатике двоичный поиск в отсортированном списке из 1 000 000 элементов требует не более 20 сравнений, поскольку 2²⁰ больше миллиона.
2. Если вклад растёт по формуле A = P(1 + r)ᵗ, время t можно найти с помощью логарифмов: t = log(A/P) / log(1 + r).
3. Шкала звёздных величин исторически устроена так, что разница в 5 звёздных величин соответствует стократной разнице яркости.
4. В равномерно темперированном музыкальном строе октава делится на 12 полутонов; частота каждого следующего звука умножается на 2^(1/12).
5. В геометрической последовательности с первым членом a₁ и знаменателем q номер члена можно найти через логарифм, если известны его значение и q.
6. Алгоритм, работающий за O(log₂ n) шагов, при увеличении объёма данных вдвое добавляет примерно один шаг, если выполняются условия его применения.