В разделе формулируются тема, проблема, цель и задачи проекта, объясняется значение интеграла Римана для математического анализа и прикладных дисциплин. Определяется объект сравнения — функция y=f(x), заданная на отрезке [a; b], а также обозначаются основные подходы, которые будут последовательно рассмотрены и проверены на примерах.

Раздел посвящён переходу от античных методов вычисления площадей к строгому понятию предела. Рассматриваются идеи Архимеда, развитие методов Ньютона и Лейбница, а также вклад О. Коши, Б. Римана и Г. Дарбу в формирование современных определений. Исторический материал помогает понять, почему возникла необходимость строгого описания предельных процедур.

Здесь вводятся разбиение отрезка [a; b], длины его частей, точки выбора ξᵢ и мелкость разбиения. Формулируется интегральная сумма Римана и объясняется её геометрический смысл как суммы ориентированных площадей прямоугольников. Отдельно показывается, почему изменение числа частей и их размеров связано с переходом к точному значению интеграла.

В разделе строго записывается определение интегрируемости функции по Риману через существование общего предела интегральных сумм при стремлении мелкости разбиения к нулю. Анализируется независимость результата от выбора промежуточных точек, приводятся условия существования предела и рассматривается связь определения с приближённым вычислением площадей.

Раздел раскрывает подход Дарбу, основанный на точных верхних и нижних гранях функции на частях разбиения. Вводятся верхние и нижние суммы, верхний и нижний интегралы, а также идея зажатия искомого значения между двумя оценками. Объясняется, почему совпадение этих величин даёт удобный критерий интегрируемости.

В пункте систематизируются основные достаточные и необходимые условия интегрируемости. Рассматриваются непрерывные, равномерно непрерывные, монотонные, кусочно-непрерывные и ограниченные функции, а также роль множества точек разрыва. На примерах показывается, какие свойства гарантируют существование интеграла, а какие приводят к его отсутствию.

Здесь сопоставляются определения Римана и Дарбу с точки зрения логики, наглядности, строгости и удобства доказательств. Доказывается или объясняется их эквивалентность для ограниченных функций, выделяются различия в используемых объектах и формулировках. Итогом становится таблица, показывающая, какой подход предпочтителен для конкретной учебной или математической задачи.

Практическая часть демонстрирует работу определений на непрерывной функции, ступенчатой или монотонной функции со скачком и функции Дирихле. Для выбранных примеров строятся разбиения, вычисляются или оцениваются суммы Римана и Дарбу, анализируется сходимость и формулируется объяснение, почему интеграл существует либо не существует.

В заключении обобщаются результаты сравнительного анализа и формулируются основные свойства рассмотренных определений. Подтверждается эквивалентность подходов Римана и Дарбу при соответствующих условиях, отмечаются их разные дидактические преимущества и области применения. Также оценивается, какие примеры наиболее наглядно показывают связь интеграла с площадью и пределом.

В разделе приводятся использованные учебники, монографии, статьи и электронные математические ресурсы, оформленные в едином библиографическом стиле. Источники должны содержать точные формулировки определений, теорем и критериев интегрируемости, а также сведения об истории развития интегрального исчисления. Для каждого интернет-ресурса указывается дата обращения.