• Математика
• 8 класс

«Сапёр» — логическая игра, в которой на прямоугольном поле скрыты мины, а открытая клетка с числом показывает их количество среди соседних клеток. В классическом варианте Beginner используется поле 9×9 с 10 минами, Intermediate — 16×16 с 40 минами, а Expert — 30×16 с 99 минами. Если положение мин считается случайным, вероятность мины в любой клетке до открытия подсказок определяется отношением числа оставшихся мин к числу закрытых клеток. Математическое ожидание показывает среднее число мин, которое можно ожидать в выбранном наборе клеток, и вычисляется как сумма произведений возможных значений на их вероятности. После появления чисел вероятность отдельных клеток меняется, поэтому игрок использует условную информацию и сравнивает риск разных ходов.

Ключевые факты

1. В классическом «Сапёре» на уровне Expert поле имеет 480 клеток и содержит 99 мин, поэтому до учёта подсказок средняя доля мин равна 99/480.
2. Число на открытой клетке может быть от 0 до 8, поскольку обычная клетка имеет не более восьми соседей, включая диагональные.
3. Если открыта клетка с числом 3 и у неё ровно три неизвестных соседа, то при известных правилах эти три клетки должны содержать по одной мине в совокупности.
4. Математическое ожидание суммы индикаторов мин равно сумме вероятностей отдельных клеток; это следует из свойства линейности математического ожидания.
5. Первый ход во многих версиях игры защищён от мины, но конкретные правила генерации поля зависят от программы и её настроек.
6. При одинаковой вероятности мины в двух клетках выбор между ними не даёт математического преимущества, даже если один вариант кажется визуально удобнее.
7. Нулевая клетка обычно открывает соседнюю область автоматически, поэтому один удачный ход может сразу дать информацию о нескольких участках поля.