• Математика
• 10–11 класс

Определённый интеграл функции на отрезке [a; b] обозначают символом ∫ₐᵇ f(x) dx; числа a и b называют нижним и верхним пределами интегрирования. Его можно представить как предел суммы площадей узких прямоугольников, которыми приближают область под графиком функции. Если функция неотрицательна, интеграл равен площади этой области, а если значения функции бывают отрицательными, учитываются площади со знаком минус. Для непрерывной функции F, являющейся первообразной f, действует формула Ньютона — Лейбница: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Интегралы применяют, чтобы вычислять площади, пройденный путь при известной скорости и другие величины, складывающиеся из множества малых частей.

Ключевые факты

1. Например, ∫₀² x dx = 2: график y = x на отрезке от 0 до 2 образует треугольник площадью 2 квадратные единицы.
2. Для функции y = sin x интеграл ∫₀ᵖ sin x dx равен 2, поскольку первообразная этой функции — −cos x.
3. Если f(x) = c, где c — постоянное число, то ∫ₐᵇ c dx = c(b − a); при c = 3 и отрезке [1; 4] значение равно 9.
4. Интеграл ∫₁ᵉ 1/x dx равен 1, потому что первообразная функции 1/x на положительных числах — натуральный логарифм ln x.
5. В XVII веке Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц независимо друг от друга развивали основы математического анализа.
6. Для нечётной функции на симметричном отрезке выполняется ∫₋ₐᵃ f(x) dx = 0: например, интеграл от x на отрезке [−2; 2] равен нулю.