• Алгебра
• 10–11 класс

Тригонометрическими называют уравнения, в которых неизвестное входит в аргумент синуса, косинуса, тангенса или котангенса. У этих функций значения повторяются через определённые промежутки, поэтому уравнение часто имеет бесконечно много корней, которые записывают с помощью целого параметра k. Для синуса и косинуса сначала находят значения углов на единичной окружности, а затем учитывают периодичность; для тангенса и котангенса также важно не включать точки, где функция не определена. Уравнения вида sin x = a и cos x = a имеют решения только при −1 ≤ a ≤ 1, потому что значения синуса и косинуса не выходят за эти границы. Если аргумент сложнее, например 2x или x − π/3, сначала удобно заменить его новой переменной, решить уравнение и вернуться к исходному выражению. После преобразований следует проверить область допустимых значений и убедиться, что найденные корни подходят исходному уравнению.

Ключевые факты

1. Уравнение sin x = 2 не имеет действительных корней: синус любого действительного угла принимает значения только от −1 до 1.
2. Для уравнения cos x = 0 все корни можно записать как x = π/2 + πk, где k — любое целое число.
3. Уравнение tan x = 1 имеет корни x = π/4 + πk; соседние корни отличаются на π радиан.
4. При замене t = 2x уравнение sin 2x = 1 превращается в sin t = 1, после чего найденные значения t нужно разделить на 2.
5. Радианная мера полного оборота равна 2π, а половины оборота — π; эти значения помогают учитывать периоды функций.
6. Равенство sin x = cos x сводится к tan x = 1 только там, где cos x не равен нулю; поэтому область определения нужно учитывать.