Условие
Решить уравнения:
а) \(\log_2(x-15)=4\);
б) \(\lg(2x)+\lg(x+3)=\lg(12x-4)\);
в) \((\lg x)^2+2\lg x=8\);
г) \(\log_4(5x+6)=0\);
д) \(\log_2(4-x)+\log_2(1-2x)=2\log_2 3\);
е) \((\log_5 x)^2-\log_5(x^2)=3\).
а) \(\log_2(x-15)=4\);
б) \(\lg(2x)+\lg(x+3)=\lg(12x-4)\);
в) \((\lg x)^2+2\lg x=8\);
г) \(\log_4(5x+6)=0\);
д) \(\log_2(4-x)+\log_2(1-2x)=2\log_2 3\);
е) \((\log_5 x)^2-\log_5(x^2)=3\).
Дано:
а) log₂(x − 15) = 4; б) lg(2x) + lg(x + 3) = lg(12x − 4); в) (lg x)² + 2lg x = 8; г) log₄(5x + 6) = 0; д) log₂(4 − x) + log₂(1 − 2x) = 2log₂ 3; е) (log₅ x)² − log₅(x²) = 3
Найти:
Решить каждое из шести логарифмических уравнений
1 Для уравнения а) учесть область допустимых значений и перейти от логарифмической записи к показательной
Для логарифма аргумент должен быть положительным, поэтому $x-15>0$, то есть $x>15$. По определению логарифма равенство $ log_2(x-15)=4$ означает, что $x-15=2^4$.
2 Для уравнения б) задать условия существования логарифмов, объединить логарифмы и решить полученное уравнение с проверкой корней
Для существования логарифмов нужны положительные аргументы: $2x>0$, $x+3>0$ и $12x-4>0$, откуда $x>\frac13$. Объединяем логарифмы слева и приравниваем аргументы: $2x(x+3)=12x-4$, то есть $x^2-3x+2=0$. Корни — $x=1$ и $x=2$; оба удовлетворяют условию $x>\frac13$, поэтому оба являются решениями.
3 Для уравнения в) заменить lg x новой переменной и решить полученное квадратное уравнение
Положим $t=\lg x$. Тогда уравнение принимает вид $t^2+2t=8$, или $t^2+2t-8=0$. Разложив на множители, получаем $(t+4)(t-2)=0$, поэтому $t=-4$ или $t=2$. Возвращаясь к замене, имеем $\lg x=-4$ или $\lg x=2$, откуда $x=10^{-4}$ или $x=100$.
4 Для уравнения г) использовать определение логарифма и проверить условие на аргумент
По определению логарифма равенство $\log_4(5x+6)=0$ означает $5x+6=4^0=1$. Отсюда $x=-1$. Проверка: $5(-1)+6=1>0$, поэтому найденное значение допустимо.
5 Для уравнения д) учесть условия на аргументы, объединить логарифмы и применить равенство логарифмов с одинаковым основанием
Для существования логарифмов оба аргумента должны быть положительными: $4-x>0$ и $1-2x>0$, поэтому $x<\frac12$. Объединим сумму логарифмов: $\log_2((4-x)(1-2x))=\log_2 9$, поскольку $2\log_2 3=\log_2 9$. При одинаковых основаниях и допустимых аргументах приравниваем аргументы: $(4-x)(1-2x)=9$, откуда $2x^2-9x-5=0$.
6 Для уравнения е) учесть условие x > 0, преобразовать логарифм квадрата и проверить, может ли равенство выполняться
Для существования логарифмов необходимо $x>0$. Тогда $\\log_5(x^2)=2\\log_5 x$, поэтому уравнение принимает вид $(\\log_5 x)^2-2\\log_5 x=3$. Обозначим $t=\\log_5 x$: получаем $t^2-2t-3=0$, откуда $t=3$ или $t=-1$. Следовательно, $x=125$ или $x=\\frac15$; оба значения положительны и подходят.
Ответ
а) x = 31; б) x = 1 или x = 2; в) x = 10⁻⁴ или x = 100; г) x = −1; д) x = −1/2; е) x = 1/5 или x = 125.
Во всех пунктах проверены условия существования логарифмов. В пункте д) второй корень квадратного уравнения не подходит, поскольку не удовлетворяет условию x < 1/2.
Ответ не подтверждён расчётом: задача нерасчётная: ответ проверить нечем, нужен просмотр вручную. Проверьте его самостоятельно.
Задали работу по этой теме?
Реферат, доклад или проект по вашей теме: план, текст, расчёты и оформление по требованиям.
Создать проект
Готовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.