Периодические и непериодические бесконечные десятичные дроби (Узнайте больше)

Определения и обозначения

Бесконечная десятичная дробь — запись числа с бесконечным числом цифр после запятой, например 0,3333… . Многоточие означает, что цифры продолжаются и запись не заканчивается. Такое представление нужно, когда число нельзя записать конечным набором десятичных знаков.

Периодическая бесконечная десятичная дробь — дробь, в которой после некоторого места бесконечно повторяется одна и та же группа цифр. Эту группу называют периодом; например, в записи 0,2727… период — 27. Период позволяет коротко описать бесконечную последовательность цифр.

Непериодическая бесконечная десятичная дробь — дробь, в которой ни одна группа цифр не начинает повторяться бесконечно. Например, у записи числа π после запятой нет постоянно повторяющегося блока. Это определение помогает отличить иррациональные числа от рациональных.

Рациональное число записывается конечной или периодической десятичной дробью, а иррациональное — бесконечной непериодической. Рациональное число можно представить отношением целых чисел, например 3/11. Различие важно, чтобы понимать, какой десятичной записи соответствует число.

Как это устроено

При делении целого числа на целое после каждого шага возникает остаток. Остаток не может быть произвольным: при делении на знаменатель d он равен одному из чисел 0, 1, …, d − 1. Если остаток стал нулём, дальнейших ненулевых цифр не будет и запись конечна; если остаток повторился, деление продолжится точно так же, как после первого его появления. Поэтому вслед за повторившимся остатком снова появится та же последовательность цифр.

Период не обязан начинаться у самой запятой. Например, 0,1666… можно записать как 0,1(6): первая цифра после запятой — предпериод, а цифра 6 затем повторяется. Если повторение начинается сразу, как в 0,(27), дробь называют чисто периодической. Это различие описывает место, с которого начинается повтор.

Конечную десятичную дробь можно дописать нулями без изменения значения: 0,4 = 0,4000… . В бесконечной записи после запятой здесь нули повторяются бесконечно, поэтому такую дробь считают периодической с периодом 0. Это соглашение позволяет объединить конечные и периодические записи в описание рациональных чисел.

Любая рациональная дробь при делении числителя на знаменатель даёт конечную или периодическую запись. Остатков меньше, чем знаменатель, поэтому при бесконечном делении какой-то остаток неизбежно повторится, если нулевой остаток не появился раньше. С этого момента повторяются и все последующие шаги деления, а значит, цифры образуют период.

Обратное тоже верно: конечную десятичную дробь можно представить обыкновенной дробью со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее. Периодическую дробь также можно превратить в обыкновенную дробь, сдвинув запятую умножением на степень 10 и вычитая равенства. Следовательно, бесконечная непериодическая запись не может быть рациональной и соответствует иррациональному числу.

Виды десятичных записей и соответствующие им числа

В таблице сопоставлены вид записи, пример и тип числа. Скобки вокруг цифр показывают период: например, 0,(3) означает 0,3333… . При чтении дроби с предпериодом сначала найдите цифры до скобок, а затем повторяющийся блок.

Разбор задач

Задача 1. Выполнить деление 5 на 12 и определить, периодическая ли полученная дробь, указав предпериод и период. Будем записывать остаток после каждого шага: повтор остатка покажет начало повторяющихся цифр. Нужно также отличить цифры до первого появления периода.

1. Делим 50 на 12: получаем 4, остаток 2, значит, первая цифра после запятой — 4.
2. Приписываем к остатку 2 ноль: 20 : 12 = 1, остаток 8. Следующая цифра — 1.
3. Получаем 80 : 12 = 6, остаток 8. Остаток 8 повторился, поэтому цифра 6 будет повторяться: 5/12 = 0,41(6).

Ответ: дробь периодическая, предпериод — 41, период — 6. Повтор остатка означает, что деление снова проходит те же шаги.

Задача 2. Представить 0,(27) в виде обыкновенной дроби. Обозначим число через x и сдвинем запятую на две позиции — столько цифр в периоде. При вычитании бесконечные повторяющиеся части сократятся.

1. Пусть x = 0,2727… . Умножаем на 100: 100x = 27,2727… .
2. Вычитаем первое равенство из второго: 100x − x = 27,2727… − 0,2727…, поэтому 99x = 27.
3. Делим обе части на 99: x = 27/99 = 3/11.

Ответ: 0,(27) = 3/11. Длина сдвига выбирается по числу цифр в периоде, чтобы дробные части равенств совпали.

Задача 3. Объяснить, почему десятичная запись √2 бесконечна и непериодична. Известно, что √2 — иррациональное число, то есть его нельзя представить отношением целых чисел. Свяжем это свойство с видами десятичных записей.

1. Если бы запись √2 была конечной, число можно было бы представить дробью со знаменателем 10, 100, 1000 и т. д., значит, оно было бы рациональным.
2. Если бы запись была бесконечной периодической, её можно было бы перевести в обыкновенную дробь, как в предыдущей задаче.
3. Оба предположения противоречат иррациональности √2, поэтому его запись не конечна и не периодична.

Ответ: десятичная запись √2 бесконечна и непериодична, поскольку √2 иррационально.

Типичные ошибки

Считать, что период бывает только сразу после запятой. Так ошибаются, когда замечают лишь чисто периодические примеры. Проверяйте цифры после запятой: если сначала идёт отдельная часть, а затем блок повторяется, эта начальная часть — предпериод.

Принимать короткое совпадение цифр за доказательство периода. Несколько одинаковых блоков могут встретиться случайно; это ещё не показывает, что повторение продолжится бесконечно. Период подтверждается устройством дроби или повтором остатка при делении, а не одним коротким фрагментом записи.

Считать конечную дробь непериодической. После последней записанной цифры можно мысленно приписать сколько угодно нулей, не меняя числа. Например, 0,25 = 0,25000…; проверьте, можно ли продолжить запись повторяющимся нулём.

Считать любую бесконечную дробь иррациональной. Бесконечная запись может быть периодической, а периодические дроби рациональны. Перед выводом проверьте, повторяется ли группа цифр бесконечно: 0,(3), например, равна 1/3.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны деление с остатком, обыкновенные дроби и понимание десятичной записи чисел. При делении остатки объясняют, откуда берётся период, а обыкновенные дроби помогают перейти от периодической записи к рациональному числу. Связь рациональных и иррациональных чисел пригодится при изучении действительных чисел. Она также помогает понимать десятичные приближения корней, например √2, которые используют в вычислениях.

Что запомнить

• Рациональное число имеет конечную или периодическую десятичную запись.
• Иррациональное число имеет бесконечную непериодическую десятичную запись.
• Период — группа цифр, повторяющаяся бесконечно.
• Период может начинаться не сразу после запятой.
• Конечную десятичную дробь можно продолжить бесконечными нулями.
• Повторение остатков при делении приводит к повторению цифр.