"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Система уравнений второй степени состоит из уравнений с квадратичными выражениями, а её решение — пара чисел, которая подходит каждому уравнению. Такие системы решают подстановкой, сложением или вычитанием уравнений, а в симметричных случаях — через сумму и произведение переменных. Эти приёмы помогают свести задачу к квадратному уравнению. После преобразований найденные пары проверяют в исходной системе, чтобы не пропустить и не добавить решения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система уравнений второй степени — это система, в которой уравнения содержат квадратичные выражения, например x² или xy. Её решения — такие пары значений переменных, которые одновременно подходят всем уравнениям системы. Это определение помогает сразу отличать решение системы от решения одного уравнения: нужно выполнить оба условия, а не выбрать одно из них.
Решение системы — упорядоченная пара чисел, обращающая в верные равенства каждое уравнение системы. Порядок чисел важен: первое значение подставляют вместо x, второе — вместо y. Это нужно учитывать при записи ответа, ведь пары (2; 3) и (3; 2) могут вести себя в системе по-разному.
Симметрическая система — система, уравнения которой не меняются, если поменять переменные местами. Например, выражения x² + y² и xy сохраняются при перестановке x и y. Поэтому в такой системе удобно рассматривать сумму x + y и произведение xy: они также не меняются при перестановке и часто позволяют заменить два неизвестных более удобными величинами.
Обычно систему преобразуют так, чтобы одно уравнение задавало связь между переменными, а другое позволяло получить уравнение с одной переменной. Это нужно, потому что квадратное уравнение решать привычнее, чем исходную систему сразу с двумя неизвестными. Связь может быть уже дана в простом виде или появиться после сложения, вычитания либо преобразования уравнений.
Если из одного уравнения легко выразить y через x, полученное выражение подставляют вместо y в другое уравнение. Так в нём остаётся только x, и часто выходит квадратное уравнение. Найдя его корни, возвращаются к выражению для y и вычисляют соответствующие значения; иначе решение будет неполным, ведь системе нужны пары.
В симметрической системе прямая подстановка иногда приводит к громоздким вычислениям: переменные в уравнениях равноправны. Тогда вводят новые величины, например s = x + y и p = xy, и выражают через них исходные выражения. Равенство (x + y)² = x² + 2xy + y² позволяет связать сумму квадратов с суммой и произведением, а это часто упрощает систему.
Найти s и p недостаточно: они должны соответствовать двум действительным числам. Если эти числа — корни уравнения, составленного по сумме и произведению, оно должно иметь действительные корни. Например, для суммы s и произведения p это уравнение имеет вид t² − st + p = 0; если действительных корней нет, подходящих действительных x и y тоже нет.
После удобного приёма важно подставить полученные пары в исходные уравнения. Возведение в квадрат и другие преобразования не всегда равносильны: они могут добавить значения, которых раньше не было. Проверка показывает, выполняются ли все первоначальные условия, и помогает отбросить посторонние решения.
| Приём | Когда удобен | Основные действия | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Подстановка | Одну переменную легко выразить через другую | Выразить переменную, подставить, решить полученное уравнение и найти вторую переменную | Подходят ли восстановленные пары обоим исходным уравнениям |
| Сложение или вычитание уравнений | При сложении или вычитании можно упростить выражения либо исключить переменную | Сложить или вычесть уравнения, решить упрощённую систему | Не потеряны ли условия исходной системы |
| Замена суммы и произведения переменных | Система симметрична относительно переменных | Ввести s = x + y и p = xy, найти их значения, составить уравнение для корней | Есть ли действительные корни и дают ли они нужные сумму и произведение |
| Проверка найденных пар в исходной системе | После преобразований получены возможные значения переменных | Подставить каждую пару в каждое исходное уравнение | Выполняются ли все исходные равенства |
Сначала выбери приём, который сокращает число неизвестных или упрощает выражения. Если переменные входят симметрично, попробуй сумму и произведение; если одна переменная выражается просто — подстановку. В любом случае заверши решение проверкой пар в исходной системе.
Решить систему: y = x + 1; x² + y² = 13. Первое уравнение уже выражает y через x, поэтому подстановка сразу оставит в системе одну переменную. После решения квадратного уравнения для каждого найденного x восстановим y.
Ответ: (−3; −2), (2; 3).
Решить систему: x² + y² = 25; x + y = 7. Подстановка здесь возможна, но квадраты удобно связать с уже известной суммой. Используем тождество, чтобы найти произведение переменных, а затем восстановим сами числа.
Ответ: (3; 4), (4; 3).
Решить систему: x² + y² = 10; xy = 3. Эта система симметрична: перестановка x и y не меняет её уравнений. Поэтому сначала найдём возможную сумму переменных, а затем восстановим числа как корни квадратного уравнения.
Ответ: (1; 3), (3; 1), (−1; −3), (−3; −1).
После нахождения одной переменной иногда забывают подставить её обратно и записать все пары. Это происходит, когда решение квадратного уравнения ошибочно принимают за ответ всей системы. Для проверки восстанови вторую переменную для каждого корня и перечисли получившиеся упорядоченные пары.
При возведении равенства в квадрат или другом неравносильном преобразовании могут появиться посторонние значения. Их легко принять за корни, если проверять только новое уравнение. Подставь каждую пару именно в исходную систему: неверную пару нужно исключить.
В симметрической системе можно найти сумму и произведение, но не проверить, существуют ли действительные числа с такими характеристиками. Например, уравнение для искомых чисел может не иметь действительных корней. Составь квадратное уравнение t² − st + p = 0 и проверь, что у него есть действительные корни.
Ещё одна ошибка — записать значения x и y как отдельные числа, не учитывая их порядок. Перестановка координат может дать другую пару, и она тоже может быть решением. Подставь обе расстановки в систему и запиши ответ в виде пар (x; y).
Для решения таких систем нужны навыки, полученные раньше: умение решать квадратные уравнения, преобразовывать выражения и работать с системами линейных уравнений. Без разложения на множители или вычисления корней не удастся завершить подстановку и восстановить переменные по сумме и произведению. Освоенные приёмы пригодятся в более сложных системах и задачах, которые сначала нужно перевести на язык уравнений.
Что считается решением системы уравнений второй степени?
Это упорядоченная пара значений переменных, при подстановке которой каждое уравнение системы становится верным. Например, если подходят x = 2 и y = 3, записывают пару (2; 3).
Как понять, какую переменную удобнее выразить для подстановки?
Выбирай уравнение и переменную, для которой можно получить самое простое выражение — например, y = x + 1. Тогда подстановка не усложнит вычисления. Если выразить переменную легко нельзя, попробуй сложить или вычесть уравнения.
Почему в симметрической системе рассматривают сумму и произведение переменных?
В такой системе переменные играют одинаковую роль, и выражения x + y и xy не меняются при их перестановке. Через них часто удаётся упростить уравнения и составить квадратное уравнение, корнями которого будут x и y.
Как по сумме и произведению восстановить значения переменных?
Если сумма равна s, а произведение — p, составь уравнение t² − st + p = 0. Его корни и будут искомыми числами, если корни действительные. Затем запиши возможные упорядоченные пары и проверь их.
Зачем проверять найденные пары в исходной системе?
Некоторые преобразования могут привести к значениям, которые не подходят исходным уравнениям. Подстановка каждой пары в исходную систему показывает, выполняются ли все равенства. Так можно отбросить посторонние пары.
3.9. Решение систем уравнений второй степени (Для тех, кому интересно)
