График квадратичной функции

Определения и обозначения

Квадратичная функция рассматриваемого вида задаётся формулой y = ax², где a — ненулевое число. Коэффициент a показывает, во сколько раз квадрат x умножается при вычислении y. Его знак задаёт направление ветвей, а модуль влияет на ширину графика. Поэтому, меняя a, мы получаем разные параболы.

Параболой называют график функции y = ax². Это плавная кривая с двумя ветвями, которые расходятся от одной точки и симметричны друг другу. При положительном a ветви направлены вверх, а при отрицательном — вниз. Знание формы параболы помогает понять, какие точки нужно отметить при построении.

Вершина параболы — точка, в которой она меняет направление. У графика y = ax² вершина находится в начале координат, то есть в точке (0; 0). От этой точки ветви идут вверх или вниз в зависимости от a. Вершина помогает сразу определить центральную точку графика.

Ось симметрии параболы — прямая, относительно которой её левая и правая части зеркально совпадают. Для функции y = ax² это ось Oy. Если отложить одинаковые по модулю значения x в разные стороны от этой оси, получатся точки на одной высоте. Благодаря этому достаточно вычислить значения для x с одной стороны и отразить точки на другую.

Как это устроено

Чтобы построить график y = ax² по таблице, сначала выбирают несколько значений x, обычно включая ноль и числа с противоположными знаками. Затем каждое выбранное значение подставляют в формулу и вычисляют y. Полученные пары (x; y) отмечают на координатной плоскости и соединяют плавной линией. Чем точнее выбраны точки, тем легче увидеть форму кривой; симметричные пары позволяют проверить построение.

Симметрия возникает из-за того, что противоположные числа после возведения в квадрат становятся одинаковыми: (−x)² = x². Поэтому в формулах получаются равные значения: a(−x)² = ax². Например, при x = 2 и x = −2 высота точек будет одной и той же, хотя они расположатся по разные стороны от Oy. Так устроена зеркальная симметрия графика относительно этой оси.

Знак a влияет на знак всех значений функции, потому что x² не бывает отрицательным. При a > 0 произведение ax² положительно или равно нулю, поэтому парабола открывается вверх. При a < 0 это произведение отрицательно или равно нулю, значит, график отражён вниз: его точки, кроме вершины, находятся ниже оси Ox. Так знак коэффициента позволяет определить направление ветвей ещё до построения.

Модуль коэффициента показывает, насколько сильно значения функции отличаются от x². При одном и том же ненулевом x больший |a| даёт большее расстояние от точки графика до оси Ox. Поэтому ветви быстрее удаляются от вершины и парабола выглядит уже. Если |a| меньше, значения по модулю меньше, ветви расходятся медленнее и график становится шире.

Вершина находится в начале координат, потому что при x = 0 формула даёт y = a · 0² = 0. Кроме того, x² всегда неотрицателен, а значения функции при x и −x равны, поэтому по обе стороны от нуля график устроен одинаково. В таблице это видно по строке x = 0: ей соответствует y = 0, а соседние значения повторяются парами. Это подтверждает, что точка (0; 0) — нижняя точка при a > 0 и верхняя при a < 0.

Свойства и вид графика функции y = ax²

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определи знак коэффициента: это сразу покажет направление ветвей и расположение графика относительно Ox. Затем отметь общие для обоих случаев вершину и ось симметрии. Если нужно сравнить ширину двух парабол, сравни модули их коэффициентов: большему модулю соответствует более узкий график.

Разбор задач

1. Построить график функции y = x² для x = −2, −1, 0, 1, 2

Решение. Сначала вычислим значения функции для каждого заданного x. Поскольку здесь a = 1, значение y равно квадрату выбранного числа. Затем отметим точки и используем симметрию, чтобы проверить их расположение.

1. Подставляем x = −2: y = (−2)² = 4. Для x = −1 получаем y = (−1)² = 1, а для x = 0 — y = 0² = 0.
2. Для x = 1 получаем y = 1² = 1, для x = 2 — y = 2² = 4. Это подтверждает, что противоположным значениям x соответствуют одинаковые y.
3. Записываем точки: (−2; 4), (−1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4). Отмечаем их на координатной плоскости и соединяем плавной линией, симметричной относительно Oy.

Ответ: график проходит через указанные пять точек и представляет собой параболу с вершиной (0; 0), ветви которой направлены вверх.

2. Построить график функции y = 2x² и сравнить его с графиком y = x²

Решение. Чтобы сравнение было наглядным, возьмём те же значения x, что и в предыдущей задаче. Умножение на 2 означает, что при каждом x значение новой функции вдвое больше, чем у y = x². Это изменит расстояние точек от оси Ox, но не положение вершины и оси симметрии.

1. Для x = −2 и x = 2 получаем y = 2 · 4 = 8. Для x = −1 и x = 1 получаем y = 2 · 1 = 2.
2. При x = 0 значение равно 2 · 0² = 0. Получаем точки (−2; 8), (−1; 2), (0; 0), (1; 2), (2; 8).
3. Отмечаем точки, учитывая их симметрию относительно Oy, и соединяем плавной линией. При x = 1 график y = x² имеет высоту 1, а y = 2x² — высоту 2; значит, вторая парабола быстрее удаляется от оси Ox.

Ответ: график y = 2x² — парабола с вершиной в (0; 0), направленная вверх; по сравнению с y = x² она уже.

3. Определить свойства графика y = −0,5x² без построения

Решение. Для ответа не нужно составлять таблицу: достаточно изучить коэффициент и общий вид формулы. Здесь a = −0,5, поэтому знак отрицательный, а модуль коэффициента равен 0,5. Из этих данных можно определить направление ветвей, вершину и ось симметрии.

1. Так как a < 0, значения функции при ненулевых x отрицательны. Следовательно, ветви параболы направлены вниз.
2. При x = 0 получаем y = −0,5 · 0² = 0. Поэтому вершина находится в начале координат, в точке (0; 0).
3. В формуле есть только x², значит, значения при x и −x совпадают. Ось симметрии проходит по Oy; модуль 0,5 также показывает, что парабола шире графика y = x².

Ответ: ветви направлены вниз, вершина — (0; 0), ось симметрии — Oy; парабола шире графика y = x².

Типичные ошибки

• Считать, что при отрицательном a меняется только направление ветвей, но график не отражается относительно Ox. На самом деле знак a меняет знак всех значений функции при ненулевых x. Проверь себя подстановкой x = 1: при a = −1 получится y = −1, а не 1.
• Забывать, что квадрат отрицательного числа положителен, и получать разные значения для x и −x. Такую ошибку часто допускают, когда не ставят скобки при возведении в квадрат. Проверь вычисления: (−3)² = 9, поэтому значения функции при 3 и −3 совпадают.
• Думать, что увеличение |a| делает параболу шире. При одном и том же x больший модуль коэффициента увеличивает |y|, поэтому точки уходят дальше от Ox и ветви становятся круче, а парабола — уже. Сравни, например, значения y при x = 1 для y = x² и y = 2x².
• Называть вершиной точку пересечения с Ox при любом графике. Для y = ax² вершина действительно лежит на Ox, но это конкретно начало координат, а не любая точка пересечения. Подставь x = 0 в формулу: получишь точку (0; 0), которая и является вершиной.

Связь с другими темами

Для работы с параболой нужно уметь подставлять числа в формулу и возводить отрицательные числа в квадрат. Также пригодятся навыки построения точек по координатам на плоскости. Если эти действия вызывают затруднение, сначала потренируйся вычислять значения простых выражений и находить точки по паре чисел.

Тема опирается на понятие функции: каждому значению x по формуле ставится в соответствие значение y. Она также развивает умение читать графики и замечать их свойства. Позже эти знания помогут изучать преобразования графиков и решать уравнения графическим способом.

Что запомнить

• Квадратичная функция рассматриваемого вида задаётся формулой y = ax², где a ≠ 0.
• График функции y = ax² — парабола.
• Вершина параболы находится в начале координат.
• Ось симметрии параболы — ось Oy.
• При a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз.
• Чем больше |a|, тем уже парабола.