"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Предел функции при x → +∞ показывает, к какому числу приближаются значения функции при неограниченном росте x. Он помогает описывать поведение графика вдали от начала координат, находить горизонтальные асимптоты и вычислять пределы сложных выражений. Главное — знать арифметические свойства предела, отличать бесконечно малые и большие функции и уметь раскрывать неопределённость ∞/∞.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Предел функции при x → +∞ — число, к которому приближаются значения функции при неограниченном увеличении x. Записывают lim f(x) = A при x → +∞. Это понятие нужно, чтобы описывать поведение функции далеко вправо по графику, даже если она не принимает значение A.
Бесконечно малая функция — функция, предел которой при x → +∞ равен нулю. Например, 1/x стремится к нулю, когда x становится очень большим. Такие функции помогают замечать малые добавки, которые со временем почти не влияют на результат.
Бесконечно большая функция — функция, значения которой неограниченно возрастают по модулю при x → +∞. Это записывают так: |f(x)| → +∞. Понятие нужно, чтобы отличать рост самой функции от приближения к конечному числу.
Неопределённость ∞/∞ — выражение, по которому нельзя сразу определить предел дроби. Числитель и знаменатель могут расти с разной скоростью, поэтому результат бывает разным. Для раскрытия такой неопределённости выражение преобразуют, сравнивая главные по росту части.
ε-определение переводит идею приближения в точное условие: lim f(x) = A при x → +∞, если для любого ε > 0 можно выбрать число X так, что при x > X расстояние |f(x) − A| меньше ε. Чем меньше ε, тем более точная близость требуется. Число X может зависеть от ε, но после его выбора условие выполняется для всех больших x.
Для суммы и разности ошибка складывается из ошибок отдельных функций. Если f(x) близка к A, а g(x) близка к B, то f(x) + g(x) близка к A + B, потому что разность равна сумме двух малых отклонений. Аналогично f(x) − g(x) приближается к A − B: знак перед второй ошибкой меняется, но её малая величина сохраняется.
В произведении отклонение можно представить как f(x)g(x) − AB = f(x)(g(x) − B) + B(f(x) − A). Оба слагаемых стремятся к нулю, если пределы множителей конечны, поэтому произведение стремится к AB. Умножение на постоянное число является частным случаем произведения: lim cf(x) = cA.
Для частного используют представление f(x)/g(x) = f(x) · 1/g(x). Если g(x) стремится к B и B ≠ 0, то обратная функция 1/g(x) стремится к 1/B, поэтому частное стремится к A/B. Условие B ≠ 0 необходимо: иначе обратная величина не имеет конечного предела, и обычная формула неприменима.
При неопределённости ∞/∞ в дроби с многочленами делят каждое слагаемое числителя и знаменателя на старшую степень x. Тогда появляются дроби вида 1/xᵏ, стремящиеся к нулю, и остаются коэффициенты при старших степенях. Этот приём не является механическим сокращением степеней: делить нужно все слагаемые в обеих частях дроби.
В таблице A и B обозначают существующие конечные пределы функций f(x) и g(x), а c — постоянное число. Сначала проверьте условия, особенно существование пределов и ненулевой предел знаменателя. Затем выберите строку, соответствующую действию, и подставьте известные значения.
| Выражение | Условия | Предел |
|---|---|---|
| Постоянная функция | f(x) = c | lim f(x) = c |
| Сумма функций | lim f(x) = A, lim g(x) = B | lim(f(x) + g(x)) = A + B |
| Разность функций | lim f(x) = A, lim g(x) = B | lim(f(x) − g(x)) = A − B |
| Произведение функций | lim f(x) = A, lim g(x) = B | lim(f(x)g(x)) = AB |
| Умножение на постоянное число | lim f(x) = A | lim cf(x) = cA |
| Частное функций | lim f(x) = A, lim g(x) = B, B ≠ 0 | lim(f(x)/g(x)) = A/B |
| Целая степень функции | lim f(x) = A, n ∈ N | lim(f(x))ⁿ = Aⁿ |
| Корень из функции | lim f(x) = A, A ≥ 0, корень определён | lim √f(x) = √A |
Найти lim (3x + 1)/(x + 2) при x → +∞. В числителе и знаменателе есть слагаемые первой степени, поэтому возникает вид ∞/∞. Сравним главные части, не теряя остальные слагаемые.
Ответ: 3.
Найти lim (2 + 1/x)(3 − 5/x) при x → +∞. Здесь нет неопределённости, если рассматривать множители отдельно: оба содержат бесконечно малые добавки. Поэтому удобнее не раскрывать скобки, а применить свойство произведения.
Ответ: 6.
Найти lim x(√(x² + 1) − x) при x → +∞. Прямая подстановка приводит к виду ∞ · 0, поэтому нужно преобразовать разность под корнем. Умножим её на сопряжённое выражение и одновременно разделим на него.
Ответ: ½.
Подстановка x = +∞ превращает предел в действие с объектом, который не является числом. Так ошибаются, потому что воспринимают стрелку как знак равенства. Проверяйте себя: заменяйте подстановку анализом поведения выражения при больших конечных x.
Сокращение только старших степеней может изменить выражение и скрыть вклад остальных слагаемых. Ошибка появляется из-за привычки сравнивать лишь коэффициенты. Записывайте деление каждого слагаемого числителя и знаменателя на одну и ту же старшую степень x.
Свойство частного нельзя применять, если предел знаменателя равен нулю. Формула тогда потребовала бы деления на нуль, а результат может быть бесконечным или вообще не существовать. Перед использованием правила отдельно вычислите предел знаменателя и убедитесь, что он ненулевой.
Запись ∞/∞ обозначает неопределённость, а не готовый ответ и не отношение двух чисел. Одинаковый рост числителя и знаменателя ещё не говорит, каким будет предел. Преобразуйте дробь и сравните скорости роста её частей.
Для работы с пределами нужны понятие предела, действия с дробями и степенями, свойства корней и преобразование рациональных выражений. Без этих навыков трудно правильно менять вид функции, не меняя её значения.
Пределы при x → +∞ используются при исследовании функций и поиске горизонтальных асимптот. Если график приближается к прямой y = A, то эта прямая может быть горизонтальной асимптотой.
Арифметические свойства пределов подготовят к изучению непрерывности и производной. Они также помогают описывать асимптотическое поведение функций, то есть их вид при больших значениях аргумента.
Можно ли просто подставить бесконечность вместо x?
Нет, +∞ не является числом и не может быть обычным значением переменной. Нужно преобразовать выражение и исследовать его поведение при всё больших x.
Почему в пределе дроби сравнивают старшие степени числителя и знаменателя?
При больших x старшие степени растут значительно быстрее младших, поэтому именно они определяют основное поведение многочлена. Деление всех слагаемых на старшую степень позволяет увидеть это поведение и убрать неопределённость ∞/∞.
Что делать, если при подстановке получается ∞/∞?
Это не ответ, а неопределённость: по ней нельзя сразу установить предел. Обычно дробь преобразуют, например делят числитель и знаменатель на старшую степень x или умножают на сопряжённое выражение.
Почему нельзя применять правило частного, если предел знаменателя равен нулю?
Формула предела частного содержит деление на предел знаменателя. Деление на нуль не определено, а сама дробь может стремиться к бесконечности, не иметь предела или зависеть от способа приближения.
Чем предел функции при x → +∞ отличается от значения функции?
Значение функции получают при конкретном x, а предел описывает поведение её значений при неограниченном увеличении x. Функция может никогда не достигать предельного значения, но всё ближе приближаться к нему.
4. Свойства предела функции при х —» +оо
