8. Необходимое и достаточное условие существования предела монотонной функции

Определения и обозначения

Монотонная функция — функция, сохраняющая один характер изменения: неубывающая или невозрастающая на рассматриваемом промежутке. Если при x₁ < x₂ выполняется f(x₁) ≤ f(x₂), функцию называют возрастающей, а если f(x₁) ≥ f(x₂) — убывающей. Это свойство позволяет сравнивать значения функции и предсказывать направление их движения.

Ограниченность функции означает наличие числа, с которым её значения сравниваются на заданном промежутке. При ограниченности сверху существует M: f(x) ≤ M, а при ограниченности снизу существует m: f(x) ≥ m. Такое условие не даёт значения предела само по себе, но не позволяет функции уходить за соответствующую границу.

Односторонний предел — предел функции при приближении аргумента к концу промежутка только с одной стороны. Запись x → b− означает движение к b слева, а x → a+ — движение к a справа. Односторонний подход нужен, когда функция задана лишь внутри промежутка или поведение по разные стороны точки различается.

Конечный предел — предел, равный некоторому действительному числу L. Запись lim f(x) = L означает, что значения f(x) можно сделать сколь угодно близкими к L, выбирая x достаточно близким к нужной точке. В отличие от +∞ или −∞, конечный предел не является бесконечным направлением роста или убывания.

Как это устроено

Рассмотрим возрастающую функцию при приближении x к правому концу b слева. Чем ближе x к b, тем больше становятся значения f(x), поэтому они образуют упорядоченное множество. Если функция ограничена сверху, у этого множества есть наименьшая верхняя грань L: ни одно значение её не превышает, а любую меньшую границу некоторые значения превосходят. Именно к L значения и приближаются, поэтому левый предел равен L.

Для возрастающей функции условие ограниченности сверху не только достаточно, но и необходимо. Если конечный предел равен L, то в достаточно малой левой окрестности b значения находятся, например, ниже L + 1, а на оставшейся части промежутка их можно ограничить отдельно. Значит, вся функция имеет верхнюю границу. Аналогично убывающая функция при x → b− движется вниз, поэтому конечный предел существует тогда и только тогда, когда она ограничена снизу.

У левого конца промежутка картина меняется, потому что аргумент приближается к a справа. Возрастающая функция при таком движении принимает всё меньшие значения, поэтому для конечного предела ей нужна ограниченность снизу. Убывающей функции нужны значения, не уходящие вверх, то есть ограниченность сверху. Так направление изменения функции связывается с направлением, откуда к концу подходит аргумент.

Ограниченность необходима для конечного предела: числа, приближающиеся к действительному L, не могут неограниченно расти или убывать. Если возрастающая функция у правого конца не ограничена сверху, для любого большого A найдётся x, при котором f(x) > A; тогда значения стремятся к +∞. Если убывающая функция не ограничена снизу, для любого отрицательного числа найдётся значение ещё меньше, и предел равен −∞. Это предел в расширенном смысле, но не конечное число.

Условия существования конечного предела монотонной функции

Сначала определите, к какому концу промежутка приближается x, затем установите направление изменения функции. После этого проверяйте именно ту границу, которая указана в третьем столбце. Если условие выполнено, конечный предел существует, хотя для его точного нахождения могут потребоваться дополнительные свойства функции.

Разбор задач

Задача 1

Условие: исследовать существование и найти предел f(x) = x² при x → 1−.

1. На отрезке [0; 1) функция возрастает: если 0 ≤ x₁ < x₂ < 1, то x₁² < x₂².
2. При 0 ≤ x < 1 выполняется x² < 1, поэтому функция ограничена сверху числом 1.
3. Аргумент приближается к правому концу 1 слева. Для возрастающей функции в такой ситуации достаточно ограниченности сверху.
4. По теореме конечный предел существует. При приближении x к 1 значение x² приближается к 1.

Ответ: lim₍ₓ→₁−₎ x² = 1.

Задача 2

Условие: исследовать поведение f(x) = ln x при x → +∞.

1. Логарифмическая функция возрастает на промежутке (0; +∞).
2. Сверху она не ограничена: для любого числа A можно подобрать x = eᴬ, тогда ln x = A, а при больших x значения становятся ещё больше.
3. Следовательно, при движении x к +∞ функция не приближается к конечной верхней границе.
4. Так как значения возрастают без ограничения, предел равен +∞, а конечного предела не существует.

Ответ: lim₍ₓ→+∞₎ ln x = +∞.

Задача 3

Условие: функция f возрастает на (2; 5), ограничена сверху числом 7, f(3) = 4. Доказать существование предела при x → 5− и оценить его.

1. Точка 5 — правый конец промежутка, поэтому рассматривается приближение слева.
2. Функция возрастает и ограничена сверху, значит, по теореме существует конечный предел L = lim₍ₓ→₅−₎ f(x).
3. Для x > 3 имеем f(x) ≥ f(3) = 4. Переход к пределу сохраняет эту оценку, поэтому L ≥ 4.
4. Верхняя ограниченность даёт L ≤ 7. Следовательно, 4 ≤ L ≤ 7.

Ответ: предел существует, а его возможное значение принадлежит отрезку [4; 7]. Точное значение по данным условиям определить нельзя.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать, что любая монотонная функция имеет конечный предел. Например, f(x) = x возрастает, но при x → +∞ стремится к +∞. Проверяйте не только монотонность, но и нужную ограниченность.

Ошибка 2. Для возрастающей функции у правого конца искать ограниченность снизу. Нижняя граница не мешает значениям расти без конца, поэтому нужна именно верхняя. Сверьте направление движения функции с таблицей условий.

Ошибка 3. Делать вывод о пределе только по ограниченности. Ограниченная функция может колебаться и не иметь предела, например sin x при x → +∞. Перед применением теоремы обязательно установите монотонность.

Ошибка 4. Заменять x → b− обычным приближением к b и забывать о стороне. Поведение слева и справа может быть разным, особенно у функции, заданной разными формулами. Запишите область, из которой движется x, и только потом выбирайте условие ограниченности.

Связь с другими темами

До этой темы нужны определения предела, одностороннего предела, монотонности и ограниченности функции. Без них трудно понять, что именно проверяет теорема и почему одного роста или убывания недостаточно.

Результат опирается на свойство действительных чисел: всякое непустое множество, ограниченное сверху, имеет наименьшую верхнюю грань, а ограниченное снизу — наибольшую нижнюю грань. Именно эти грани становятся значениями пределов.

Дальше теорема используется при исследовании последовательностей и рядов, а также при доказательстве существования пределов функций. Она помогает получать предел без непосредственной подстановки или сложных преобразований.

Что запомнить

• Монотонность означает упорядоченное изменение значений функции.
• Для возрастающей функции у правого конца нужна ограниченность сверху.
• Для убывающей функции у правого конца нужна ограниченность снизу.
• У левого конца направления ограниченности меняются местами.
• Монотонность и нужная ограниченность вместе равносильны существованию конечного одностороннего предела.
• Если нужной ограниченности нет, монотонная функция обычно стремится к +∞ или −∞.