§ 11. Приближённые значения величин. Погрешность приближения

Определения и обозначения

Приближённое значение величины – это значение, полученное вместо точного значения, когда точное невозможно или не нужно получить. Например, мы можем сказать, что длина комнаты примерно 5 метров, вместо того чтобы измерять её с точностью до миллиметра. Это упрощает вычисления и делает их более практичными.

Абсолютная погрешность показывает, насколько наше приближённое значение отличается от точного. Она вычисляется как модуль разности между приближённым и точным значениями: Δx = |x_прибл. - x_точн.|. Абсолютная погрешность имеет ту же размерность, что и сама величина, например, метры или килограммы. Она позволяет оценить величину ошибки в абсолютных единицах.

Относительная погрешность показывает, какую часть от приближённого значения составляет абсолютная погрешность. Она вычисляется как отношение абсолютной погрешности к приближённому значению: ε = Δx / x_прибл.. Относительная погрешность обычно выражается в процентах. Она позволяет сравнивать точность измерений разных величин, даже если они измеряются в разных единицах.

Как это устроено

В реальных задачах мы редко можем получить точное значение величины. Это может быть связано с ограничениями измерительных приборов, сложностью измерений или просто с отсутствием необходимости в высокой точности. Например, при измерении длины стола линейкой мы всегда будем иметь некоторую погрешность, связанную с точностью самой линейки и с нашими глазами. Однако, даже если мы не знаем точное значение, мы можем оценить погрешность измерения и учесть её при дальнейших расчетах.

Погрешность влияет на результат вычислений. Если мы используем приближённые значения вместо точных, то результат вычислений также будет приближённым. При последовательных действиях, таких как сложение, вычитание, умножение и деление, погрешность может накапливаться и увеличиваться. Например, если мы сначала округлили одно число, а затем использовали это округлённое значение в другом вычислении, то общая погрешность будет больше, чем погрешность округления одного числа. Поэтому важно учитывать погрешность на каждом этапе вычислений.

Выбор единиц измерения может влиять на абсолютную и относительную погрешность. Например, если мы измеряем длину комнаты в метрах, то абсолютная погрешность может быть 0,1 метра. Если мы переведем длину в сантиметры, то абсолютная погрешность станет 10 сантиметров. Однако, относительная погрешность останется неизменной. Поэтому при сравнении точности измерений важно использовать относительную погрешность, а не абсолютную.

При практических измерениях важно учитывать погрешность прибора и погрешность измерения. Погрешность прибора определяется его точностью, например, погрешность линейки составляет 1 мм. Погрешность измерения связана с субъективным фактором, например, с тем, как точно мы можем прочитать показания прибора. Общая погрешность измерения равна сумме погрешности прибора и погрешности измерения.

Приближённое значение величины с указанием её погрешности представляется в виде: x ± Δx, где x – приближённое значение, а Δx – абсолютная погрешность. Например, 2,5 ± 0,1 означает, что истинное значение величины находится в диапазоне от 2,4 до 2,6. Это позволяет оценить диапазон возможных значений величины и учитывать погрешность при дальнейших расчётах.

Виды погрешностей

Эта таблица предоставляет краткий обзор видов погрешностей, их определений, способов выражения и примеров. Она поможет вам лучше понять различия между абсолютной и относительной погрешностью, а также научиться их вычислять.

Разбор задач

1. Задача: Длина комнаты измерена как 5,2 м. Известно, что погрешность измерения равна 0,1 м. Найдите абсолютную и относительную погрешности.

   Решение:

   1. Абсолютная погрешность уже дана: Δx = 0,1 м.
   2. Чтобы найти относительную погрешность, нужно разделить абсолютную погрешность на приближённое значение: ε = Δx / x_прибл. = 0,1 м / 5,2 м ≈ 0,0192.
   3. Переведём относительную погрешность в проценты: 0,0192 * 100% ≈ 1,92%.

   Ответ: Абсолютная погрешность равна 0,1 м, относительная погрешность равна примерно 1,92%.

2. Задача: Товар стоит 1200 рублей. Его цена может отличаться не более чем на 5%. Представьте диапазон изменения цены товара.

   Решение:

   1. Вычислим абсолютную погрешность: Δx = 5% от 1200 рублей = 0,05 * 1200 рублей = 60 рублей.
   2. Определим минимальную цену товара: 1200 рублей - 60 рублей = 1140 рублей.
   3. Определим максимальную цену товара: 1200 рублей + 60 рублей = 1260 рублей.

   Ответ: Цена товара может изменяться в диапазоне от 1140 до 1260 рублей.

3. Задача: Вычислите площадь прямоугольника со сторонами 3,4 см и 5,6 см, учитывая, что погрешность измерения каждой стороны равна 0,1 см. Найдите погрешность вычисления площади.

   Решение:

   1. Вычислим площадь прямоугольника: S = 3,4 см * 5,6 см = 19,04 см².
   2. Оценим погрешность вычисления площади. Погрешность при умножении равна (погрешность одного слагаемого / соответствующее слагаемое + погрешность другого слагаемого / другое слагаемое) * результат.
   3. ΔS = (0,1 см / 3,4 см + 0,1 см / 5,6 см) * 19,04 см² ≈ (0,029 + 0,018) * 19,04 см² ≈ 0,47 * 19,04 см² ≈ 8,95 см².

   Ответ: Площадь прямоугольника равна 19,04 ± 8,95 см².

Типичные ошибки

Использование только абсолютной погрешности без учёта величины измеряемой величины: Нельзя напрямую сравнивать погрешность измерения длины комнаты и погрешность измерения длины нитки. Ошибочно считать, что погрешность в 0,1 метра одинаково мала для комнаты и для нитки. Важно учитывать, что относительная погрешность может быть разной, даже если абсолютная погрешность одинакова.

Указание погрешности без указания единицы измерения: Записывать погрешность как 0,1 – некорректно. Всегда нужно указывать единицу измерения, например, 0,1 м или 0,1 кг. Без единицы измерения погрешность не имеет смысла.

Неправильное округление числа: Если нужно округлить число до десятых, а следующая цифра меньше 5, то округление в большую сторону недопустимо. Задача округления — упростить число, сохранив его приближенное значение в заданных пределах.

Игнорирование погрешности при выполнении последовательных вычислений: Погрешность накапливается на каждом этапе вычислений. Игнорирование погрешностей на каждом этапе может привести к значительному отклонению от точного результата.

Связь с другими темами

Проценты, пропорции: Для вычисления относительной погрешности необходимо уметь находить процент от числа и использовать пропорции.

Действия над числами: Для вычисления погрешности результата арифметических действий необходимо уверенно выполнять сложение, вычитание, умножение и деление. Знание правил работы с десятичными дробями особенно важно.

Что запомнить

• Приближённое значение – это замена точного значения другой величиной, близкой к ней.
• Абсолютная погрешность показывает, на сколько приближённое значение отличается от точного.
• Относительная погрешность показывает, какую часть от приближённого значения составляет абсолютная погрешность.
• При округлении обычно задают точность, например, до десятых, сотых и т.д.
• Погрешности при вычислениях могут накапливаться, поэтому важно учитывать их на каждом этапе.
• Представление результата измерения всегда включает значение и погрешность.