§ 27. Высказывания. Теоремы

Определения и обозначения

Высказывание – это утверждение, которое может быть либо истинным, либо ложным. Это значит, что о высказывании можно сказать, верно оно или нет. Например, утверждение "2 + 2 = 4" – это высказывание, и оно истинно. А утверждение "Земля плоская" – это тоже высказывание, но оно ложно. Высказывания являются основными строительными блоками математических рассуждений.

Истинное высказывание – это высказывание, которое согласуется с реальностью или соответствует известным математическим фактам. То есть, оно верно. Например, "Париж – столица Франции" – это истинное высказывание. В математике, истинность часто определяется на основе аксиом и ранее доказанных теорем.

Ложное высказывание – это высказывание, которое не соответствует действительности или противоречит известным математическим фактам. То есть, оно неверно. Например, “Все кошки умеют летать” – это ложное высказывание. Важно уметь выявлять ложные высказывания, чтобы избежать ошибок в рассуждениях.

Теорема – это истинное высказывание, которое обязательно нужно доказать. Доказательство – это строгое логическое обоснование истинности теоремы. Например, теорема Пифагора (a² + b² = c²) — это истинное высказывание, которое можно доказать, и доказывается она много раз разными способами. Это доказывает надежность утверждения.

Как это устроено

Математические рассуждения строятся на основе истинных утверждений. Именно поэтому так важно уметь отличать истинные высказывания от ложных, а также доказывать теоремы. Просто наблюдать, что что-то верно, недостаточно. Нужно показать, почему это верно, используя логику и известные факты.

Рассмотрим примеры. В повседневной жизни мы часто встречаем высказывания: "Сегодня идёт дождь", "Небо голубое", "Я люблю пиццу". Эти высказывания могут быть истинными или ложными в зависимости от обстоятельств. В математике высказывания более точные и строгие. Например, "Четное число делится на 2", "Сумма углов треугольника равна 180 градусам". Эти утверждения проверяются не наблюдением, а доказательством.

Важно доказывать теоремы, а не просто наблюдать их истинность, потому что наблюдение может быть обманчивым. Например, может показаться, что все лебеди белые, но на самом деле существуют чёрные лебеди. Точно так же, математическое утверждение, которое верно для нескольких конкретных случаев, может оказаться ложным для общего случая. Доказательство гарантирует, что теорема верна для всех возможных случаев.

Высказывания бывают простыми и сложными. Простые высказывания состоят из одного утверждения, например, “5 – простое число”. Сложные высказывания образуются из нескольких простых с помощью логических связок, таких как "и", "или", "не". Например, “Число является чётным и больше 10”. Особое внимание стоит обращать на правильное использование логических связок, чтобы не допустить ошибок в рассуждениях.

Теоремы играют ключевую роль в построении математической теории. Они позволяют нам вывести новые утверждения из уже известных, расширяя наши знания о математическом мире. Теоремы также используются при решении задач, предоставляя готовые инструменты для нахождения ответов. Чем больше мы знаем теорем, тем легче нам решать сложные задачи.

Истинность высказываний

Таблица демонстрирует различные типы высказываний и их возможную истинность. Важно понимать, что истинность высказывания зависит от его соответствия действительности или общепринятым математическим фактам.

Разбор задач

Задача 1: Является ли высказывание “Сегодня вторник” истинным, если сегодня пятница?

1. Анализ условия: Нам дано, что сегодня пятница.
2. Анализ высказывания: Высказывание утверждает, что сегодня вторник.
3. Сопоставление: Пятница и вторник – разные дни недели.
4. Вывод: Высказывание “Сегодня вторник” не соответствует действительности.

Ответ: Высказывание ложно.

Задача 2: Докажите, что сумма двух четных чисел – четное число.

1. Определение четного числа: Четное число – это число, которое делится на 2 без остатка. Можно представить четное число в виде 2k, где k – целое число.
2. Представление двух четных чисел: Пусть a и b – два четных числа. Тогда a = 2m и b = 2n, где m и n – целые числа.
3. Вычисление суммы: a + b = 2m + 2n = 2(m + n)
4. Вывод: Так как (m + n) тоже является целым числом, то 2(m + n) – четное число.

Ответ: Сумма двух четных чисел – четное число. Мы доказали это, исходя из определения четного числа.

Задача 3: Рассмотрим высказывание: “Если число делится на 4, то оно делится на 2”. Является ли оно истинным? Докажите.

1. Анализ высказывания: Это условное высказывание вида “если A, то B”, где A – “число делится на 4”, а B – “число делится на 2”.
2. Представление числа, делящегося на 4: Если число делится на 4, то его можно представить в виде 4k, где k – целое число.
3. Преобразование: 4k = 2(2k)
4. Вывод: Так как 2(2k) делится на 2, то любое число, делящееся на 4, также делится на 2.

Ответ: Высказывание истинно. Мы доказали, что если число делится на 4, то оно обязательно делится на 2. Это пример следствия: если A истинно, то B тоже должно быть истинным.

Типичные ошибки

Путаница между истинностью и доказательством: Ученики часто считают, что если высказывание кажется им правдоподобным или они наблюдали его истинность в нескольких случаях, то оно уже доказано. Однако, наблюдение не является доказательством. Для доказательства требуется строгая логическая цепочка рассуждений.

Неправильное применение логических связок: Ошибки возникают при определении истинности сложных высказываний с использованием «и», «или», «не». Например, ученики могут ошибочно полагать, что если одна часть высказывания с “и” ложна, то всё высказывание истинно.

Непонимание роли аксиом: Ученики могут пытаться доказать аксиомы, что бессмысленно. Аксиомы – это исходные утверждения, которые принимаются без доказательств. Их можно использовать для доказательства теорем, но не наоборот.

Нечеткое формулирование теорем и определений понятий: Неправильная формулировка теоремы или определения может привести к двусмысленности и ошибкам в доказательствах. Важно четко и точно выражать свои мысли.

Связь с другими темами

Логика: Понимание понятий высказываний и логических связок тесно связано с основами логики. Изучение логики позволяет более глубоко понимать структуру математических рассуждений и избегать логических ошибок.

Применение теорем при решении математических задач: В дальнейшем изучении алгебры применение теорем является важнейшим инструментом для решения задач различной сложности. Теоремы позволяют упростить процесс решения и находить ответы более эффективно.

Что запомнить

• Высказывание – это утверждение, имеющее значение истинности (либо истинное, либо ложное).
• Теорема – это истинное высказывание, подтвержденное доказательством.
• Доказательство теоремы – это логическая цепочка, показывающая безусловную истинность утверждения.
• Истинность высказывания зависит от соответствия его содержания действительности.
• Ложные высказывания могут быть полезными для выявления ошибок в рассуждениях.