§ 10. Применение разложения многочлена на множители

Определения и обозначения

Разложение многочлена на множители — представление многочлена в виде произведения многочленов. Например, x² − 5x можно записать как x(x − 5). Такая запись нужна, чтобы упростить дальнейшие действия: найти корни уравнения, сократить дробь или увидеть делимость выражения.

Тождественное преобразование — преобразование выражения, которое сохраняет его значение при допустимых значениях переменных. При разложении на множители мы заменяем выражение равным ему произведением, поэтому равенство сохраняется. Проверить это можно обратным действием: раскрыть скобки и получить исходный многочлен.

Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение становится верным. Например, x = 0 — корень уравнения x(x − 5) = 0. Разложение левой части помогает найти такие значения: вместо сложного многочлена получаются множители, каждый из которых можно приравнять к нулю.

Свойство нулевого произведения гласит: если произведение равно нулю, то хотя бы один его множитель равен нулю. Например, если AB = 0, то A = 0 или B = 0. Это свойство позволяет заменить одно уравнение с произведением несколькими более простыми уравнениями.

Как это устроено

Чтобы решить уравнение разложением на множители, сначала приводят его к виду, в котором одна сторона равна нулю. Для этого переносят все члены в одну сторону, меняя знаки перенесённых слагаемых. Затем полученный многочлен раскладывают на множители, например вынесением общего множителя за скобки. Такой порядок нужен потому, что свойство нулевого произведения применяют именно к произведению, равному нулю.

Если получилось (x − a)(x − b) = 0, то произведение обращается в ноль, когда x − a = 0 или x − b = 0. Решая эти два уравнения, получают x = a и x = b. Проверять нужно оба случая: каждый множитель может стать нулём независимо от другого, поэтому один из найденных корней нельзя заранее отбросить.

Разложение полезно и при упрощении дробей. Если числитель и знаменатель имеют общий множитель, его можно сократить: например, x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Однако знаменатель исходной дроби не должен быть равен нулю, поэтому для дроби (x² − 9)/(x − 3) условие x ≠ 3 записывают до сокращения и сохраняют после него. Иначе упрощённая запись будет ошибочно допускать запрещённое значение.

При вычислении значения многочлена иногда удобнее сначала разложить его на множители. Например, вместо подсчёта 49² − 1 можно использовать разность квадратов: 49² − 1 = (49 − 1)(49 + 1) = 48 · 50. Полученное произведение легче считать устно, потому что один из множителей можно представить как круглое число. Выбор формы зависит от того, при какой записи подстановка становится проще.

Разложение помогает обосновать делимость, если среди множителей удаётся выделить число, кратное нужному делителю. Например, последовательные целые числа дают соседние множители, среди которых есть чётное число; это даёт множитель 2. Если также можно выделить множитель 3, произведение делится на 6. Поэтому при доказательстве важно не просто записать произведение, но и объяснить, откуда в нём берутся нужные множители.

Применение разложения многочлена на множители

Сначала определите цель: для уравнения важен нулевой множитель, для дроби — общий множитель, а для делимости — нужный делитель среди факторов. Затем выберите подходящее разложение и проверьте условия задачи. Такая последовательность помогает не пропустить ни корни, ни ограничения.

Разбор задач

Задача 1. Решите уравнение x² − 5x = 0. В левой части оба слагаемых содержат x, поэтому удобно вынести её за скобки. После разложения применяем свойство нулевого произведения и решаем получившиеся простые уравнения.

1. Выносим общий множитель: x² − 5x = x(x − 5), поэтому уравнение принимает вид x(x − 5) = 0.
2. Приравниваем к нулю каждый множитель: x = 0 или x − 5 = 0. Из второго уравнения получаем x = 5.
3. Проверяем оба значения в исходном уравнении: при x = 0 и при x = 5 левая часть равна нулю. Оба значения подходят.

Ответ: 0; 5. Два корня получились потому, что нулём может быть любой из двух множителей.

Задача 2. Сократите дробь (x² − 9)/(x − 3) и укажите допустимые значения x. Числитель — разность квадратов, поэтому его можно разложить на два множителя. При этом ограничение нужно определить по исходному знаменателю, ещё до сокращения дроби.

1. Записываем ограничение: знаменатель x − 3 не должен быть равен нулю, значит x ≠ 3.
2. Разлагаем числитель: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Тогда дробь равна ((x − 3)(x + 3))/(x − 3).
3. Сокращаем общий множитель x − 3. Получаем x + 3, но условие x ≠ 3 сохраняем, так как оно взято из исходной дроби.

Ответ: x + 3 при x ≠ 3. Значение x = 3 нельзя подставлять в исходное выражение, даже если его нет в знаменателе сокращённой записи.

Задача 3. Докажите, что для любого целого n число n³ − n делится на 6. Чтобы увидеть делимость, представим выражение произведением. Затем отдельно покажем, почему в нём есть множители 2 и 3: делимость на оба числа означает делимость на 6.

1. Выносим общий множитель: n³ − n = n(n² − 1). Разность квадратов даёт n(n − 1)(n + 1).
2. Множители n − 1, n, n + 1 — три последовательных целых числа. Среди любых трёх последовательных чисел одно делится на 3, а хотя бы одно чётное, то есть делится на 2.
3. Чётное число и число, делящееся на 3, дают в произведении множители 2 и 3. Значит, произведение n(n − 1)(n + 1) делится на 6.

Ответ: доказано. Рассуждение подходит для любого целого n, потому что в каждом случае три числа n − 1, n и n + 1 последовательны.

Типичные ошибки

При решении уравнения иногда приравнивают к нулю только один множитель. Так теряются корни, которые получаются из остальных множителей, потому что произведение может обнулить любой из них. Чтобы проверить себя, выпишите отдельное уравнение для каждого множителя и проверьте все найденные значения.

При сокращении дроби на выражение с переменной можно забыть, что оно обращается в ноль при некоторых значениях. Такие значения запрещены знаменателем исходной дроби, даже если после сокращения переменная исчезла из знаменателя. Сначала найдите нули исходного знаменателя, а потом обязательно укажите ограничения в ответе.

Другое неверное рассуждение: если произведение равно нулю, то каждый множитель равен нулю. На самом деле достаточно, чтобы нулём был хотя бы один множитель; например, 0 · 4 = 0. Для самопроверки подставьте в произведение случай, когда один множитель нулевой, а другой — нет.

Ошибки в знаках при разложении или пропущенный множитель меняют исходный многочлен. Их часто допускают, торопясь вынести общий множитель или применить формулу. Раскройте скобки в ответе и сравните результат с исходным выражением: это надёжный способ проверить разложение.

Связь с другими темами

Для разложения многочлена нужно уметь выносить общий множитель за скобки и применять формулы сокращённого умножения, например разность квадратов. При решении уравнений пригодятся понятие корня и свойства равенств: одинаковые действия над обеими частями сохраняют равенство. Для работы с дробями нужно знать, что знаменатель не может быть равен нулю. В дальнейшем эти приёмы будут полезны при решении уравнений и упрощении дробных рациональных выражений.

Что запомнить

• Перед разложением уравнения на множители приведи его к виду, равному нулю.
• Если произведение равно нулю, хотя бы один из его множителей равен нулю.
• Приравнивай к нулю каждый множитель и рассматривай все полученные случаи.
• При сокращении дроби сохраняй ограничения, заданные исходным знаменателем.
• Проверяй разложение раскрытием скобок.
• Разложение на множители может упростить вычисление и помочь доказать делимость.