"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феоктистов И.Е.
В этом параграфе мы изучаем, как изменяется график функции y = f(x), если перед ней появляется числовой коэффициент, то есть рассматриваем функцию y = kf(x). Это преобразование называется растяжением или сжатием графика вдоль оси Y. Мы научимся определять, растянется график или сожмется, и строить новые графики, исходя из известных. Понимание этого поможет визуализировать функции и решать задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Растяжение графика функции – это преобразование, при котором точки графика удаляются от оси Ox в определенное количество раз. Это происходит, когда перед функцией стоит коэффициент больше единицы. Например, если функция y = f(x) преобразуется в y = 2f(x), то каждая точка на графике будет поднята вверх в 2 раза.
Сжатие графика функции – это противоположное преобразование, при котором точки графика приближаются к оси Ox. Здесь коэффициент перед функцией находится в пределах от 0 до 1. Если y = 0.5f(x), то график «сжимается» к оси X, как будто его «приплюснули».
Коэффициент k в функции y = kf(x) является коэффициентом масштабирования. Он показывает, во сколько раз изменяется масштаб графика по оси Y. Этот коэффициент определяет, растянется график или сожмется, и насколько сильно.
Преобразование функции y = f(x) в функцию y = kf(x) — это геометрическое преобразование, которое изменяет масштаб графика функции вдоль оси Y. Если k > 1, происходит растяжение, если 0 < k < 1 – сжатие, а если k < 0 – отражение относительно оси Ox в сочетании с растяжением или сжатием.
Рассмотрим две функции: y = f(x) и y = kf(x), где k – любое действительное число. Если мы хотим узнать, что произойдет с графиком функции y = f(x) при изменении значения k, нам нужно понять, как изменяются координаты точек на графике. Суть в том, что само значение k влияет на y-координату каждой точки.
Если k > 1, то график функции y = kf(x) получается из графика функции y = f(x) растяжением от оси Ox в k раз. Это происходит потому, что y-координаты всех точек графика умножаются на число больше единицы, что увеличивает их расстояние от оси Ox. Представьте себе, что вы тянете график вверх, как резинку.
Если 0 < k < 1, то график функции y = kf(x) получается из графика функции y = f(x) сжатием к оси Ox в 1/k раз. Здесь y-координаты всех точек графика умножаются на число меньше единицы, что уменьшает их расстояние от оси Ox. График как бы «прижимается» к оси X.
Чтобы объяснить, почему происходит растяжение или сжатие графика, рассмотрим произвольную точку (x₀, f(x₀)) на графике функции y = f(x). Тогда соответствующая ей точка на графике y = kf(x) будет (x₀, kf(x₀)). Это означает, что x-координата остается неизменной, а y-координата умножается на k.
Если k > 1, то kf(x₀) > f(x₀), что означает, что y-координата точки увеличивается в k раз, что и приводит к растяжению графика вдоль оси Y от оси Ox. Другими словами, график становится более вытянутым вверх.
Если 0 < k < 1, то kf(x₀) < f(x₀), что означает, что y-координата точки уменьшается в 1/k раз, что приводит к сжатию графика вдоль оси Y к оси Ox. График становится более плоским и приближается к оси X.
| Значение k | Растяжение/Сжатие | Описание |
|---|---|---|
| k > 1 | Растяжение | График функции y = kf(x) растягивается от оси Ox в k раз. |
| 0 < k < 1 | Сжатие | График функции y = kf(x) сжимается к оси Ox в 1/k раз. |
| k = 1 | Без изменения | График функции y = kf(x) совпадает с графиком функции y = f(x). |
| k < 0 | Отображение с изменением масштаба | График функции y = kf(x) симметричен относительно оси Ox, также происходит растяжение или сжатие. |
Эта таблица наглядно демонстрирует, как разные значения k влияют на график функции. Помните, что k = 1 оставляет график без изменений, а отрицательное значение k добавляет отражение относительно оси Ox.
Задача 1: Постройте график функции y = 2sin(x) из графика функции y = sin(x).
Ответ: График y = 2sin(x) представляет собой синусоиду, растянутую в 2 раза по оси Y по сравнению с графиком y = sin(x).
Задача 2: Постройте график функции y = 0.5cos(x) из графика функции y = cos(x).
Ответ: График y = 0.5cos(x) представляет собой косинусоиду, сжатую в 2 раза по оси Y по сравнению с графиком y = cos(x).
Задача 3: Определите, как изменится график функции y = f(x), если она будет преобразована в функцию y = -3f(x).
Ответ: График функции y = -3f(x) является отражением графика y = f(x) относительно оси Ox и растянут в 3 раза вдоль оси Y.
Путаница между растяжением и сжатием: Важно четко понимать, увеличивается или уменьшается масштаб графика. Часто ученики путают эти понятия, особенно когда k близко к 1.
Неправильное определение коэффициента k: Внимательно следите за тем, что именно умножается на функцию. Ошибка возникает, когда ученики не замечают коэффициент, находящийся перед функцией, или неправильно его определяют.
Забывание о влиянии отрицательного коэффициента: Отрицательный знак перед функцией приводит к отражению графика относительно оси Ox. Забывание об этом приводит к неправильному построению графика.
Применение преобразования не ко всей функции: Преобразование y = kf(x) касается только изменения масштаба по оси Y, а не смещения графика. Не следует смешивать это с параллельным переносом графика.
Представление функций различными способами (аналитическое, графическое, табличное) помогает понять, как изменяется функция при преобразованиях. Знание разных способов представления позволяет лучше визуализировать и анализировать функции.
Преобразования графиков функций (сдвиги, отражения, параллельные переносы) – это фундаментальные концепции, которые помогут вам лучше понять растяжение и сжатие. Все эти преобразования взаимосвязаны и позволяют строить сложные графики из простых.
Что случится с графиком функции, если k будет равно 0?
Если k = 0, то график функции y = kf(x) превращается в прямую линию вдоль оси Ox, то есть y = 0. Все точки графика функции f(x) будут «сплющены» к оси X, так как значение y для каждой точки будет равно нулю.
Как растяжение/сжатие влияет на периоды тригонометрических функций?
Растяжение или сжатие графика вдоль оси Y влияет на амплитуду тригонометрической функции, но не изменяет ее период. Период остается прежним, так как преобразование касается только изменения масштаба по вертикали, а не горизонтального сжатия или растяжения.
Может ли коэффициент k быть дробным числом?
Да, коэффициент k может быть любым действительным числом, включая дроби. Дробные значения k приводят к сжатию графика вдоль оси Y, а целые числа больше единицы – к растяжению.
Как найти функцию f(x), если известен график y = kf(x) и значение k?
Чтобы найти f(x), необходимо разделить каждую точку на графике y = kf(x) по оси Y на коэффициент k. Это вернет исходные значения функции f(x).
Применяется ли растяжение/сжатие в других областях математики?
Да, преобразования масштабирования, такие как растяжение и сжатие, широко применяются в геометрии (при преобразовании фигур), физике (например, при описании волн) и компьютерной графике.
7. Растяжение и сжатие графиков функций к оси ординат
