§ 24. Решение уравнений методом замены переменной

Определения и обозначения

Замена переменной — введение нового обозначения для выражения, которое повторяется в уравнении. Например, вместо каждого x² можно написать t. Это нужно, чтобы громоздкая запись стала короче и уравнение было проще решать.

Новая переменная — величина, которой обозначили выбранное выражение; для неё составляют отдельное уравнение. Букву обычно выбирают произвольно, часто используют t или y. Отдельное уравнение позволяет применить уже знакомые способы решения.

Обратная замена — возвращение от новой переменной к исходной после решения преобразованного уравнения. Если было задано t = x², найденное t подставляют в равенство x² = t. Этот шаг нужен, потому что ответ задачи обычно требуется выразить через x.

Биквадратное уравнение — уравнение вида ax⁴ + bx² + c = 0, где a ≠ 0; оно сводится к квадратному заменой t = x². Тогда x⁴ превращается в t², а x² — в t. Замена полезна, когда уравнение содержит только чётные степени x и их можно собрать в знакомую квадратную форму.

Как это устроено

Сначала ищут выражение, которое повторяется в нескольких местах и играет одну и ту же роль. Например, если повторяется x², а рядом встречаются x⁴ и x², замена t = x² превращает их в t² и t. Выбирать одиночную часть, которая не упрощает запись, обычно невыгодно: цель приёма — получить более простое уравнение.

После замены исходное уравнение часто становится квадратным относительно новой буквы. Это происходит потому, что повторяющаяся часть теперь считается одним выражением: вместо длинного фрагмента записывают t, а вместо его квадрата — t². Решать такое уравнение легче, поскольку для квадратных уравнений уже известны способы нахождения корней.

Новая переменная не всегда может принимать любые значения. Если t = x², то t ≥ 0, потому что квадрат действительного числа не бывает отрицательным. Если это ограничение забыть, можно принять значение t, для которого не существует действительного x, и зря решать уравнение обратной замены.

Когда значения новой переменной найдены, каждое из них связывают с исходным выражением. Например, при t = x²−3x значение t = 4 приводит к уравнению x²−3x = 4. Его решают обычным способом; найденные значения x и составляют кандидатов в ответы. Если для некоторого t обратное уравнение не имеет действительных корней, оно не даёт ответа исходной задачи.

Наконец, проверяют, подходят ли найденные x исходному уравнению и его ограничениям. Проверка особенно нужна, если при преобразованиях могли измениться допустимые значения или были выполнены неравносильные действия. Так можно обнаружить посторонний корень и не потерять условие вроде x ≠ 0. Если каждое преобразование равносильно и ограничения соблюдены, проверка подтверждает результат.

Этапы решения уравнения методом замены переменной

Пользуйся таблицей как последовательностью действий: переходи к следующему этапу, только когда учёл условия предыдущего. Особенно внимательно проверяй ограничения и обратную замену. В конце сопоставь ответ с исходным уравнением, а не только с уравнением для новой переменной.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение x⁴ − 13x² + 36 = 0. Здесь повторяются x² и его квадрат, поэтому удобно обозначить t = x²; при этом t ≥ 0. Получим квадратное уравнение t² − 13t + 36 = 0, корни которого — 4 и 9. Обратная замена даёт x² = 4 или x² = 9, откуда x = ±2 и x = ±3; все четыре числа удовлетворяют исходному уравнению. Ответ: −3, −2, 2, 3.

Задача 2. Решить уравнение (x² − 3x)² − 2(x² − 3x) − 3 = 0. Повторяется целое выражение x² − 3x, поэтому обозначим его буквой t; так уравнение станет квадратным. Для каждого найденного t нужно вернуться к равенству x² − 3x = t, иначе ответ останется записанным не через исходную переменную.

1. Положим t = x² − 3x. Тогда t² − 2t − 3 = 0, то есть (t − 3)(t + 1) = 0; получаем t = 3 или t = −1.
2. При t = 3 имеем x² − 3x = 3, или x² − 3x − 3 = 0. По формуле корней получаем x = (3 ± √21)/2.
3. При t = −1 имеем x² − 3x = −1, или x² − 3x + 1 = 0. Отсюда x = (3 ± √5)/2.
4. Обе пары получены из обратных уравнений и удовлетворяют условиям замены. Подстановка в исходную запись даёт ноль, поэтому все четыре значения подходят.

Ответ: (3 ± √21)/2 и (3 ± √5)/2.

Задача 3. Решить уравнение (x + 1/x)² − 5(x + 1/x) + 6 = 0, x ≠ 0. Сначала учитываем, что делить на ноль нельзя, поэтому x не равен нулю. Положим t = x + 1/x; квадратное уравнение t² − 5t + 6 = 0 даёт t = 2 или t = 3. При t = 2 уравнение обратной замены превращается в x² − 2x + 1 = 0, откуда x = 1. При t = 3 получаем x² − 3x + 1 = 0 и x = (3 ± √5)/2. Эти значения не равны нулю и подходят исходному уравнению. Ответ: 1, (3 ± √5)/2.

Типичные ошибки

Иногда заменяют только часть повторяющегося выражения или забывают заменить одно из его вхождений. Тогда новое уравнение уже не соответствует исходному, хотя внешне может выглядеть похоже. Такое случается, когда не обведены все одинаковые фрагменты; перед решением проверь, что каждая копия заменена одной буквой.

Другая ошибка — считать, что новая переменная может принимать любое число. Например, при t = x² нельзя оставлять отрицательный корень уравнения по t: ни одно действительное x не имеет отрицательного квадрата. Чтобы проверить себя, запиши ограничения сразу рядом с заменой и сопоставь с ними найденные значения.

Бывает, что уравнение относительно новой переменной решено, а найденные числа объявлены ответом. Но они относятся к t, а задача обычно спрашивает значения x; поэтому нужно подставить каждое найденное t в определение замены. Проверь, что в конце все ответы записаны через исходную переменную.

Если не проверить корни в исходном уравнении, можно включить постороннее значение, появившееся при преобразовании. Причина часто в забытом ограничении, например x ≠ 0, или в шаге, который не сохраняет равносильность. Подставь кандидатов в исходную запись и исключи те, при которых равенство неверно либо выражение не определено.

Связь с другими темами

Для замены полезно уметь решать линейные и квадратные уравнения и раскладывать многочлены на множители: именно эти навыки часто нужны после упрощения. Биквадратное уравнение — знакомый частный случай, где вводят t = x². Тот же общий приём применяют в рациональных, иррациональных и тригонометрических уравнениях, если там находится удобное повторяющееся выражение. Он также помогает упрощать сложные записи и сводить задачу к уже знакомому типу.

Что запомнить

• Замена переменной должна упрощать структуру уравнения.
• Все одинаковые выражения нужно заменить одним и тем же обозначением.
• Для новой переменной необходимо учитывать допустимые значения.
• После решения нового уравнения обязательна обратная замена.
• Каждое найденное значение исходной переменной нужно проверить.
• При замене t = x² всегда выполняется условие t ≥ 0.