§ 26. Делимость нацело и её свойства

Определения и обозначения

Делимость нацело — отношение между целыми числами a и b, при котором a = bq для некоторого целого q. Это значит, что при делении a на b остатка не возникает. Условие важно именно для целого q: дробный множитель не доказывает делимость нацело. По такой записи можно проверить делимость, найдя подходящее целое частное.

Делитель числа — целое число b, на которое число a делится нацело; говорят, что b делит a. Если a = bq, делитель — это множитель b, а делимое — число a, которое представлено произведением. Такое различение помогает верно записывать условие: b ∣ a, а не наоборот. Например, 4 ∣ 20, потому что 20 = 4 · 5.

Кратное числа — число a, представимое в виде произведения данного числа b на целое число q. Значит, если b ∣ a, то a является кратным b. Одно число может иметь много кратных: например, 12, 24 и 36 кратны 6. Это понятие удобно, когда нужно описать числа, которые делятся на заданное число.

Символ делимости — запись b ∣ a, означающая, что a делится на b нацело. Вертикальная черта читается как «делит», поэтому левое число — делитель, а правое — делимое. По определению запись равносильна существованию целого q, для которого a = bq. Символ позволяет кратко формулировать условия и свойства делимости.

Как это устроено

Равенство a = bq с целым q означает, что число a составлено из целого количества частей размером b. Поэтому при делении a на b получается целое частное q и остаток 0. Если частное не целое, представить a в таком виде не удаётся, и делимости нацело нет. Например, 84 = 7 · 12, значит, 84 делится на 7 без остатка.

В равенстве a = bq роли чисел определяются местом и смыслом множителей: a — делимое, b — делитель, q — частное. Чтобы установить делимость, достаточно найти целое q, при котором равенство выполняется. Например, из 35 = 5 · 7 следует, что 5 делит 35, а частное равно 7. Если переменные используются вместо чисел, q всё равно должен быть целым.

Любое целое a делится на 1, потому что a = 1 · a, а ненулевое a делится на себя, потому что a = a · 1. Для нуля верно 1 ∣ 0, так как 0 = 1 · 0, но запись 0 ∣ a не используют: ноль не может быть делителем. Действительно, равенство a = 0 · q возможно только при a = 0, а деление на ноль не определено. При этом 0 делится на любое ненулевое b, поскольку 0 = b · 0.

Транзитивность означает, что делимость передаётся через промежуточное число. Если b ∣ a и c ∣ b, то существуют целые q и r, для которых a = bq и b = cr. Подставим второе равенство в первое: a = (cr)q = c(rq). Произведение rq целое, поэтому c ∣ a; именно последовательная подстановка доказывает это свойство.

Сумма, разность и произведение сохраняют делимость благодаря тому, что общий делитель можно вынести за скобки. Если a = bq₁ и c = bq₂, то a + c = b(q₁ + q₂), а a − c = b(q₁ − q₂); скобки содержат целые числа. Для произведения достаточно a = bq: тогда ac = b(qc), и qc тоже целое. По той же причине b делит ma + nc при целых m и n, если делит и a, и c.

Основные свойства делимости нацело

Сначала найди в условии общий делитель и проверь, выполнены ли условия нужной строки. Затем примени вывод: для суммы и разности нужны две делимости на одно и то же число, а для умножения делимого — одно условие делимости. В записи линейной комбинации коэффициенты m и n должны быть целыми.

Разбор задач

Задача 1. Проверить, делится ли 84 на 7 нацело, и записать соответствующее равенство. Нужно выяснить, можно ли представить 84 в виде произведения 7 на целое число. Если такое число существует, оно будет частным при делении 84 на 7. Найдём его и проверим равенство.

1. Делим 84 на 7: получаем 12, это целое число.
2. Проверяем умножением: 7 · 12 = 84.
3. По определению делимости равенство с целым множителем подтверждает деление нацело.

Ответ: 84 делится на 7 нацело; 84 = 7 · 12, то есть 7 ∣ 84. Проверка умножением показывает не только частное, но и то, что остаток равен нулю. Если бы множитель не был целым, условие делимости нацело не выполнялось бы. Здесь частное 12 — целое.

Задача 2. Известно, что 6 ∣ 24 и 24 ∣ 120; доказать, что 6 ∣ 120. Здесь числа 6 и 120 связаны не напрямую, а через промежуточное число 24. Поэтому удобно записать оба условия делимости равенствами и выполнить подстановку. Так мы проверим, что в итоге получится целый множитель при 6.

1. Из 6 ∣ 24 следует, что 24 = 6 · 4.
2. Из 24 ∣ 120 следует, что 120 = 24 · 5.
3. Подставляем первое равенство во второе: 120 = (6 · 4) · 5 = 6 · 20.
4. Число 20 целое, значит, 120 представлено как произведение 6 на целое число.

Ответ: 6 ∣ 120. Это частный случай транзитивности: если c ∣ b и b ∣ a, то c ∣ a. Прямое вычисление здесь не заменяет доказательство, а показывает, почему работает свойство. В последнем равенстве множитель при 6 действительно целый.

Задача 3. Доказать, что если 5 ∣ a и 5 ∣ b, то 5 ∣ (3a − 2b), а затем найти остаток при a = 10 и b = 15. Первые два условия позволяют выразить оба числа через общий делитель 5. После подстановки нужно вынести 5 за скобки и проверить, что оставшийся множитель целый. Для числовой проверки возьмём указанные значения, каждое из которых делится на 5.

1. Записываем условия: a = 5q₁ и b = 5q₂, где q₁ и q₂ — целые числа.
2. Подставляем их в выражение: 3a − 2b = 3 · 5q₁ − 2 · 5q₂.
3. Выносим 5: 3a − 2b = 5(3q₁ − 2q₂). Выражение в скобках целое, поэтому 5 делит результат.
4. При a = 10 и b = 15 получаем 3 · 10 − 2 · 15 = 0. Остаток при делении 0 на 5 равен 0.

Ответ: 5 ∣ (3a − 2b), а при a = 10 и b = 15 остаток равен 0. В общем доказательстве решающим оказалось вынесение общего делителя за скобки. В числовой проверке результат сразу делится на 5, потому что ноль кратен любому ненулевому целому числу. Этот пример показывает, как свойство линейной комбинации помогает работать с выражением.

Типичные ошибки

Путают b ∣ a и a ∣ b, потому что в обычной записи деления легко перепутать порядок чисел. Но слева от знака делимости стоит делитель, а справа — число, которое представляют в виде произведения. Проверь себя равенством: для b ∣ a должно выполняться a = bq с целым q. Например, 4 ∣ 20, но 20 ∣ 4 неверно.

Считают, что любое число делится на 0, хотя деление на ноль не определено. Путаница возникает из-за того, что ноль делится на ненулевое число, но это не означает обратного. Проверь запись 0 ∣ a через равенство a = 0 · q: оно возможно только для a = 0. Поэтому делитель в записи делимости должен быть ненулевым.

Переносят делимость на сумму без общего делителя: из b ∣ a и c ∣ d само по себе не следует b ∣ (a + d). Обычно ошибку допускают, забывая, что свойство суммы требует делимости обоих слагаемых на одно и то же число. Перед применением правила выпиши его условия и сравни делители. Например, 2 ∣ 4 и 3 ∣ 3, но 2 не делит сумму 4 + 3 = 7.

Полагают, что из a ∣ b сразу следует b ∣ a, хотя это разные утверждения. Одностороннюю делимость ошибочно принимают за взаимную, потому что в обоих случаях встречаются те же числа. Проверь обратное направление отдельным равенством: для b ∣ a нужно представить a как b, умноженное на целое число. Например, 2 ∣ 6, но 6 ∣ 2 неверно; взаимная делимость ненулевых чисел возможна, когда их модули равны.

Связь с другими темами

Для изучения делимости нужны целые числа и понимание того, что частное при делении без остатка должно быть целым. Полезно уметь умножать, делить с остатком и преобразовывать буквенные выражения: эти навыки помогают проверять равенство a = bq и выносить общий множитель. Делимость встречается при разложении чисел и выражений на множители, поиске НОД и НОК. Её свойства также используют в доказательствах и при решении уравнений, корни которых должны быть целыми.

Что запомнить

• b ∣ a означает, что a = bq для некоторого целого q.
• Число, стоящее слева от знака делимости, является делителем.
• Нулевое число делится на любое ненулевое целое число.
• Если b ∣ a и b ∣ c, то b делит их сумму, разность и любую целочисленную линейную комбинацию.
• Если c ∣ b и b ∣ a, то c ∣ a.
• На ноль делить нельзя.