"Алгебра", Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
В алгебре часто возникает задача: построить график функции, если известен график другой, похожей функции. Один из ключевых способов – использовать преобразования, такие как сдвиги. В этом параграфе мы научимся строить график функции вида y = f(x + l) + m, зная график функции y = f(x). Мы разберемся, как параметры *l* и *m* влияют на положение графика, как применять эти знания на практике и каких ошибок стоит избегать.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция вида y = f(x + l) + m представляет собой комбинацию двух простых преобразований графика функции y = f(x): горизонтального сдвига и вертикального сдвига. Горизонтальный сдвиг изменяет положение графика вдоль оси Ox, а вертикальный – вдоль оси Oy. Важно понимать, что параметр *l* отвечает за сдвиг по оси *Ox*, а параметр *m* – за сдвиг по оси *Oy*.
Функция y = f(x + l) – это сдвиг графика функции y = f(x) на *l* единиц влево, если *l* > 0, и на |l| единиц вправо, если *l* < 0. Например, если *l* = 2, график сдвигается на 2 единицы влево, а если *l* = -2 (или |l|=2), график сдвигается на 2 единицы вправо. Такой сдвиг нужен, чтобы изменить положение графика относительно начала координат и, возможно, упростить его анализ.
Функция y = f(x) + m – это сдвиг графика функции y = f(x) на *m* единиц вверх, если *m* > 0, и на |m| единиц вниз, если *m* < 0. Подобно горизонтальному сдвигу, вертикальный сдвиг меняет положение графика. Если *m* = 3, график поднимается на 3 единицы вверх, если *m* = -3 (или |m|=3), график опускается на 3 единицы вниз. Это преобразование полезно при исследовании значений функции и ее экстремумов.
Представьте себе, что у вас есть график функции y = f(x) и вы хотите получить график функции y = f(x + l) + m. Чтобы это сделать, нужно понять, что происходит с каждой точкой на графике y = f(x). Возьмем произвольную точку (x, y), лежащую на графике y = f(x). Это значит, что y = f(x).
При замене x на (x + l) в формуле y = f(x) мы получаем y = f(x + l). Это соответствует горизонтальному сдвигу графика на *l* единиц. Если *l* > 0, график сдвигается влево, потому что для того, чтобы получить то же значение *y*, нужно подставить меньшее значение *x*. Если *l* < 0, график сдвигается вправо, так как нужно подставить большее значение *x*.
Затем мы добавляем к f(x + l) значение *m*, получая y = f(x + l) + m. Это соответствует вертикальному сдвигу графика на *m* единиц. Если *m* > 0, график сдвигается вверх (значения *y* увеличиваются), а если *m* < 0, график сдвигается вниз (значения *y* уменьшаются). Важно понимать, что вертикальный сдвиг не влияет на положение графика вдоль оси *Ox*.
Последовательное применение сдвигов – сначала по оси *x*, затем по оси *y* – приводит к тому же результату, что и комбинированное преобразование y = f(x + l) + m. Это связано с тем, что сдвиги – это линейные преобразования, и порядок их применения не имеет значения (при условии, что сдвиги происходят вдоль разных осей). Другими словами, если вы сначала сдвинете график по оси *Ox*, а затем по оси *Oy*, результат будет таким же, как если бы вы сначала сдвинули график по оси *Oy*, а затем по оси *Ox*.
Преобразование y = f(x + l) + m влияет на все ключевые точки графика функции y = f(x). Максимумы и минимумы сдвигаются на *l* единиц влево (если *l* > 0) или вправо (если *l* < 0) и на *m* единиц вверх (если *m* > 0) или вниз (если *m* < 0). Точки пересечения с осями координат также сдвигаются. Например, если график y = f(x) пересекает ось *Ox* в точке (x₀, 0), то график y = f(x + l) + m пересечет ось *Ox* в точке (x₀ - l, -m).
| Параметр | l > 0 | l < 0 | m > 0 | m < 0 |
|---|---|---|---|---|
| Формула преобразования | y = f(x + l) + m | y = f(x + l) + m | y = f(x) + m | y = f(x) + m |
Эта таблица наглядно показывает, как параметры *l* и *m* влияют на график функции. Используйте ее как шпаргалку при решении задач. Она поможет быстро определить, куда и насколько нужно сдвинуть график исходной функции.
Задача 1: Постройте график функции y = (x + 2)² - 3, если дан график функции y = x².
Ответ: График функции y = (x + 2)² - 3 представляет собой параболу с вершиной в точке (-2, -3).
Задача 2: Дан график функции y = sin(x). Постройте график функции y = sin(x - π/2) + 1.
Ответ: График функции y = sin(x - π/2) + 1 – это синусоида, сдвинутая вправо на π/2 и вверх на 1.
Задача 3: Опишите преобразования, которые нужно применить к графику y = √x, чтобы получить график y = √(-x + 3) - 2.
Ответ: Сначала отражение относительно оси y, затем сдвиг вправо на 3 единицы и вниз на 2 единицы.
Путаница в знаках *l* и *m*: Многие ученики ошибочно сдвигают график вправо при *l* > 0, или вниз при *m* > 0. Важно помнить, что положительное значение *l* соответствует сдвигу влево, а положительное значение *m* – сдвигу вверх. Чтобы избежать этой ошибки, всегда проверяйте знаки параметров и вспоминайте, как они влияют на направление сдвига.
Неправильный порядок применения сдвигов: Некоторые ученики думают, что порядок сдвигов имеет значение. Это не так, сдвиг по *x* и сдвиг по *y* можно выполнять в любом порядке. Однако, если в преобразовании присутствуют и другие операции (например, отражение или растяжение), порядок может стать важным.
Забывание о влиянии преобразований на ключевые точки: Часто ученики сосредотачиваются только на изменении положения графика в целом и забывают о том, что максимумы, минимумы и точки пересечения с осями также сдвигаются вместе с графиком. Убедитесь, что вы правильно переносите эти ключевые точки на новый график.
Неправильное понимание влияния отрицательного аргумента: Ученики часто путают f(-x) с f(x+l), где l<0. f(-x) - это отражение графика относительно оси y, а не сдвиг.
Для полного понимания темы преобразований графиков функций необходимо знать основные типы преобразований, такие как растяжение, сжатие и отражение. Они часто используются в сочетании со сдвигами, чтобы получить более сложные преобразования.
Эта тема пригодится при исследовании свойств функций (например, нахождении области определения, области значений, нулей функции) и при решении уравнений и неравенств графическим способом. Умение быстро и правильно строить графики функций позволяет наглядно представить решение задачи.
Что произойдет с графиком функции, если l = 0?
Если l = 0, то функция примет вид y = f(x) + m. Это означает, что график функции просто сдвинется на *m* единиц вверх, если *m* положительное, или вниз, если *m* отрицательное. Горизонтального сдвига не произойдет, так как аргумент функции *x* не изменится.
Что произойдет с графиком функции, если m = 0?
Если m = 0, то функция примет вид y = f(x + l). Это означает, что график функции сдвинется на *l* единиц влево, если *l* положительное, или вправо, если *l* отрицательное. Вертикального сдвига не произойдет, так как к функции ничего не добавляется.
Как построить график, если l и m имеют разные знаки?
Если *l* и *m* имеют разные знаки, нужно выполнить сдвиги последовательно. Сначала сдвиньте график на *l* единиц по оси *Ox* (влево, если *l* > 0, и вправо, если *l* < 0), а затем на *m* единиц по оси *Oy* (вверх, если *m* > 0, и вниз, если *m* < 0). Порядок сдвигов не имеет значения.
Можно ли применить преобразование y = f(x + l) + m к любому графику?
Да, преобразование y = f(x + l) + m можно применить к графику любой функции y = f(x). Это преобразование просто сдвигает график функции вдоль осей координат и не влияет на его общую форму (если, конечно, функция определена для всех значений *x*, которые нам нужны).
Как преобразование влияет на область значения функции?
Преобразование y = f(x + l) + m сдвигает график функции вверх или вниз на *m* единиц. Следовательно, область значений функции также сдвигается на *m* единиц. Если область значений функции y = f(x) была [a, b], то область значений функции y = f(x + l) + m будет [a + m, b + m].
§ 19. Как построить график функции у = f(x + l) + m, если известен график функции у = f(x)
