"Алгебра", Мордкович А.Г.
Функция y = x² каждому числу x сопоставляет его квадрат. Её график — парабола: плавная кривая с вершиной в начале координат, симметричная относительно оси y и направленная ветвями вверх. По таблице значений можно построить график, а по его точкам — находить значения функции и аргументы. Знание свойств параболы пригодится при изучении квадратных уравнений и графическом решении задач.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция y = x² — это правило, по которому каждому допустимому значению x соответствует квадрат этого числа. Чтобы найти значение функции, подставь вместо x заданное число и возведи его в квадрат: если x = 3, то y = 3² = 9. Для отрицательного числа важно возвести в квадрат всё число: при x = −3 получаем y = (−3)² = 9. Формула позволяет по любому выбранному аргументу определить соответствующее значение функции.
График функции — множество точек координатной плоскости, координаты которых связаны заданной формулой. Для функции y = x² это точки вида (x; x²): первая координата показывает выбранное число, а вторая — его квадрат. Например, точка (2; 4) принадлежит графику, потому что 4 = 2². Такое описание помогает проверить, должна ли конкретная точка находиться на графике.
Парабола — кривая, которая является графиком функции y = x². Она имеет плавную чашеобразную форму: от самой нижней точки линия поднимается в обе стороны. Параболу нельзя заменить набором отдельных точек или отрезков, хотя несколько рассчитанных точек помогают понять её форму. Название и форма кривой нужны, чтобы узнавать график и описывать его свойства.
Вершина параболы — её крайняя точка, в которой направление кривой меняется. У графика y = x² вершина находится в начале координат, то есть в точке (0; 0), а обе ветви направлены вверх. Ветвями называют части кривой по разные стороны от вершины. Эти обозначения позволяют коротко описывать положение и направление графика.
Чтобы построить график, сначала выбирают несколько значений x и записывают их в таблицу. Для каждого выбранного числа вычисляют x²: например, при x = −2 получается 4, а при x = 1 получается 1. Каждую пару записывают как координаты точки (x; x²) и отмечают на координатной плоскости. Чем лучше выбраны значения, тем понятнее форма кривой; точки затем соединяют плавно, а не отрезками.
Противоположные значения аргумента дают одинаковый результат, потому что число при умножении само на себя теряет знак: x² = (−x)². Так, аргументам 2 и −2 соответствуют значения 4 и 4. Значит, точки (2; 4) и (−2; 4) находятся на одинаковой высоте и на одинаковом расстоянии от оси y. Отсюда следует симметрия графика относительно оси y: отражение одной его половины относительно этой оси совпадает с другой половиной.
Квадрат любого действительного числа не меньше нуля: произведение двух одинаковых чисел не может быть отрицательным. Поэтому у точек графика координата y всегда равна нулю или положительна, и парабола расположена на оси x либо выше неё. Равенство x² = 0 возможно только при x = 0. Значит, график касается оси x только в начале координат и не пересекает её в других точках.
При движении по оси x слева к нулю расстояние от x до нуля уменьшается, а вместе с ним уменьшается и квадрат этого расстояния. Справа от нуля расстояние до нуля растёт, поэтому растёт и x². В точке x = 0 квадрат равен нулю, тогда как квадрат любого другого числа больше нуля. Так объясняются убывание функции слева от вершины, возрастание справа и наименьшее значение в вершине.
Симметрия позволяет сэкономить вычисления при построении. Достаточно взять неотрицательные значения x, найти для них квадраты и отметить соответствующие точки справа от оси y. Затем каждую такую точку отражают на такое же расстояние влево от оси, сохраняя ту же высоту. Например, точке (3; 9) соответствует точка (−3; 9), поэтому не нужно заново вычислять квадрат отрицательного аргумента.
| Свойство | Функция y = x² |
|---|---|
| Область определения | Все действительные числа |
| Множество значений | Все числа y ≥ 0 |
| Нули функции | x = 0 |
| Наименьшее значение | 0 при x = 0 |
| Промежуток убывания | При x ≤ 0 |
| Промежуток возрастания | При x ≥ 0 |
| Симметрия графика | Относительно оси y |
В таблице собраны свойства, которые помогают описывать функцию без построения новых точек. Область определения отвечает на вопрос, какие значения x допустимы, а множество значений — какие y могут получиться. По таблице также можно проверить, где график пересекает ось x и в каком направлении меняется его левая и правая части.
Задача 1. Заполните таблицу значений функции y = x² для x = −2, −1, 0, 1, 2. Для каждого аргумента нужно отдельно вычислить квадрат, не забывая о скобках у отрицательных чисел. Результаты удобно записать в порядке исходных значений x.
Теперь расположим результаты напротив аргументов. Проверка проста: значения для противоположных аргументов −2 и 2 совпали, как и значения для −1 и 1. Ответ: x: −2, −1, 0, 1, 2; y: 4, 1, 0, 1, 4.
Задача 2. Постройте график функции y = x², используя значения x от −3 до 3 с шагом 1. Шаг 1 означает, что каждое следующее значение аргумента отличается от предыдущего на единицу. Сначала вычислим значения функции, а затем нанесём полученные пары координат на плоскость.
Точки с одинаковыми y для x и −x должны находиться на одной горизонтали; это помогает обнаружить ошибку при нанесении. График не должен образовывать углы между соседними точками, так как парабола — плавная кривая. Ответ: построенная по точкам парабола симметрична относительно оси y.
Задача 3. По графику y = x² определите значения функции при x = −2 и x = 2, а также значения x, при которых y = 4. Чтобы читать график, сначала ищут заданную координату одной точки, а затем смотрят на вторую. В этом примере координаты хорошо видны и по таблице значений.
Получились два значения аргумента, потому что парабола симметрична и горизонталь y = 4 пересекает обе её ветви. Проверить ответ можно подстановкой: (−2)² = 4 и 2² = 4. Ответ: y(−2) = 4, y(2) = 4; при y = 4 аргумент x равен −2 или 2.
Ошибка: считать, что квадрат отрицательного числа отрицателен. Так думают, когда переносят знак минус из исходного числа в результат, не вспоминая, что квадрат — это произведение числа на само себя. Например, (−3)² = (−3) · (−3) = 9, а не −9. Проверь себя умножением: произведение двух отрицательных чисел положительно.
Ошибка: вычислять (−x)² как −x². Причина обычно в том, что не замечают скобки: в выражении (−x)² в квадрат возводится целое отрицательное число, а без скобок минус может относиться к результату возведения. Например, (−2)² = 4, но −2² = −4 по обычному порядку действий. Проверяй, что именно стоит под знаком квадрата, и при подстановке отрицательного аргумента используй скобки.
Ошибка: соединять найденные точки отрезками. Отрезки кажутся удобными, когда таблица содержит мало значений, но тогда график получается ломаным и теряет форму параболы. Найденные точки задают положение кривой, а не границы отдельных прямых участков. Проверь рисунок: линия должна проходить через отмеченные точки плавно, без углов.
Ошибка: расположить часть графика ниже оси x или приписать функции отрицательные значения. Такое происходит, если неверно возведено в квадрат отрицательное число либо точка отмечена не на той высоте. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, ни одна точка параболы не может лежать ниже оси x. Проверь вычисление и координату y; пересечение с осью x должно быть только в точке (0; 0).
Для построения графика понадобятся координатная плоскость, умение находить координаты точки и составлять таблицу значений. Если эти навыки пока вызывают затруднение, полезно сначала повторить, как отмечать пары чисел (x; y) и читать их по осям. Функция y = x² станет основой для изучения квадратичной функции, график которой устроен сложнее. Графики также используют при решении уравнений и неравенств: ответ можно находить по пересечениям линий или по положению графиков.
Почему график функции y = x² называют параболой?
Кривая, состоящая из точек с координатами (x; x²), имеет характерную форму параболы: она плавно поднимается от вершины в обе стороны. Так называют именно кривую, а не отдельную точку или отрезок.
Почему точки графика с абсциссами x и −x симметричны?
Абсцисса — это первая координата точки. Числа x и −x противоположны, но их квадраты равны: x² = (−x)². Поэтому на графике им соответствуют точки на одной высоте, по разные стороны от оси y.
Может ли функция y = x² принимать отрицательные значения?
Нет, квадрат любого действительного числа неотрицателен. При x = 0 значение равно нулю, а при остальных x оно положительно.
Как по графику найти значения аргумента, если задано значение функции?
Найдите на вертикальной оси заданное значение y и проведите через него горизонтальную линию до пересечения с параболой. Затем опустите от каждой точки пересечения перпендикуляр к оси x и прочитайте абсциссы. Например, при y = 4 получаются x = −2 и x = 2.
Почему для построения графика достаточно найти точки с неотрицательными абсциссами?
График симметричен относительно оси y: значения функции для x и −x одинаковы. Поэтому точки с отрицательными абсциссами можно получить отражением точек с положительными абсциссами относительно этой оси.
§ 37. Функция у = х2 и ее график
