"Алгебра", Мордкович А.Г.
Запись y = f(x) показывает, что значение y зависит от выбранного числа x по некоторому правилу. Такое соответствие называют функцией: каждому допустимому значению аргумента x правило ставит в соответствие ровно одно значение. Буква f обозначает функцию, а f(x) — результат применения её правила к аргументу x. Эта запись помогает коротко задавать зависимости, вычислять значения и находить аргумент, если известен результат.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция — это зависимость, при которой каждому допустимому значению одной переменной соответствует единственное значение другой переменной. Например, правило может каждому числу x сопоставлять число 3x − 2. Это определение помогает отличить функцию от ситуации, когда одному и тому же x соответствуют сразу несколько разных результатов.
Аргумент функции — независимая переменная, обычно обозначаемая буквой x. Её значение можно выбрать из тех, для которых правило имеет смысл. Аргумент нужен, чтобы указать, к какому именно числу применяется функция.
Значение функции — число, которое соответствует выбранному значению аргумента; его обозначают f(x) или y. Например, f(3) означает результат, полученный для аргумента 3. Это обозначение позволяет не пересказывать каждый раз, какое число получилось по правилу.
Запись y = f(x) обозначает зависимость y от x: символ f указывает на функцию, а f(x) — её значение при аргументе x. Равенство показывает, что переменная y и результат функции — одно и то же число. Такая запись удобна, когда нужно ясно разделить правило, входное значение и результат.
Функцию задают правилом или формулой, потому что правило позволяет одинаково получать результат для разных аргументов. Например, формула y = 3x − 2 велит умножить выбранное x на 3, а затем вычесть 2. Для каждого допустимого x результат должен быть ровно один: иначе правило не задавало бы функцию в принятом смысле.
x называют независимой переменной, потому что сначала выбирают её значение. После этого формула или другое правило определяет, каким будет y, поэтому y называют зависимой переменной. Например, при y = 3x − 2 выбор x = 4 уже задаёт результат y = 10; отдельно выбирать y нельзя.
Запись y = f(x) читают так: «игрек равен эф от икс». Буква f служит именем функции, x — аргумент, а f(x) — результат, который правило даёт для этого аргумента. Название функции может быть и другим, но смысл скобок сохраняется: они связывают правило с тем значением, к которому его применяют.
Чтобы найти значение функции по формуле, вместо аргумента подставляют заданное число, а затем выполняют действия в правильном порядке. Если f(x) = x² − 1 и нужно найти f(3), записывают 3² − 1 и получают 8. Подстановка превращает формулу с переменной в числовое выражение, которое можно вычислить.
Не каждое число обязательно можно подставить: некоторые значения делают выражение бессмысленным. Например, в формуле f(x) = 1/(x − 2) при x = 2 знаменатель становится нулём, а на ноль делить нельзя. Множество всех значений аргумента, при которых функция определена, называют областью определения; её проверяют до вычислений.
| Элемент записи | Что обозначает | Пример |
|---|---|---|
| x | Аргумент функции | В записи f(3) аргумент равен 3 |
| f | Обозначение функции | Функция f |
| f(x) | Значение функции при аргументе x | f(3) — значение при x = 3 |
| y | Зависимая переменная, равная значению функции | Если f(3) = 7, то при x = 3 имеем y = 7 |
Пользуйся таблицей, чтобы не смешивать обозначение правила и его результат: f — функция, а f(x) — её значение. Сначала найди аргумент, затем посмотри, какое значение функции ему соответствует. Если дано y = f(x), то y можно заменить на найденный результат.
Задача 1. Функция задана формулой y = 3x − 2. Найдите значение y при x = 4. Нужно заменить x указанным числом, потому что значение функции зависит от выбранного аргумента.
Ответ: при x = 4 значение y равно 10. Проверка проста: подстановка исходного аргумента в формулу даёт один определённый результат.
Задача 2. Дана функция f(x) = x² − 1. Найдите f(−2) и f(a). В первом случае аргумент — отрицательное число, поэтому заключим его в скобки: при возведении в квадрат скобки показывают, что квадрат относится ко всему числу −2.
Ответ: f(−2) = 3, f(a) = a² − 1. Буквенная подстановка оставляет выражение с буквой, потому что значение аргумента пока неизвестно.
Задача 3. Функция задана формулой f(x) = 2x + 1. Найдите аргумент, при котором значение функции равно 9. Здесь результат известен, а аргумент неизвестен, поэтому нужно обратить правило: приравнять выражение функции к 9 и решить уравнение.
Ответ: искомый аргумент равен 4. Проверим результат: f(4) = 2 · 4 + 1 = 9, то есть заданное значение действительно получается.
Ошибка — считать f(x) произведением f и x. Её допускают, если воспринимают скобки только как знак умножения, но здесь f обозначает функцию, а f(x) — результат её применения. Проверь себя: если дана формула f(x) = 2x + 1, то для f(3) подставляют 3 в эту формулу, а не умножают неизвестное число f на 3.
Можно перепутать аргумент со значением функции. В записи f(3) число 3 — аргумент, а результат вычисления, например 7, — значение функции. Чтобы проверить себя, спроси: «Какое число подставлено?» и «Что получилось после вычислений?» — ответы на эти вопросы называют разные величины.
При подстановке отрицательного числа иногда забывают скобки и ошибочно записывают −2² вместо (−2)². Это происходит потому, что знак минус можно принять за отдельную операцию, хотя возвести в квадрат нужно всё число −2. Проверяй, что именно стоит в квадрате: (−2)² = 4, тогда как −2² = −4 по порядку действий.
Ещё одна ошибка — не проверять допустимость аргумента. Например, подстановка x = 2 в выражение 1/(x − 2) приводит к делению на ноль, поэтому результат получить нельзя. Перед вычислением проверь знаменатели и другие действия в формуле: если какое-либо действие невозможно, выбранный аргумент недопустим.
Для работы с функциями нужно уметь подставлять числа и буквенные выражения в формулы, а затем вычислять полученные выражения. Эти навыки уже знакомы по действиям с буквенными выражениями и помогают аккуратно находить значения функции. Запись y = f(x) пригодится при изучении графиков: на графике показывают, какие значения y соответствуют аргументам x. Понятие функции также используют, когда изучают разные способы задания зависимости и свойства функций.
Что именно обозначает f в записи y = f(x)?
Буква f — это обозначение функции, то есть правила, по которому значению x соответствует значение y. Само правило может быть задано формулой, например f(x) = 2x + 1.
Чем аргумент функции отличается от её значения?
Аргумент — это выбранное значение x, которое подставляют в правило. Значение функции — результат вычисления; например, если f(x) = 2x + 1, то при аргументе 3 значение равно 7.
Как вычислить f(3), если дана формула функции?
В формуле вместо каждого x нужно подставить 3 и выполнить вычисления. Например, если f(x) = x² − 1, то f(3) = 3² − 1 = 8.
Почему f(x) — это не произведение f на x?
Скобки в записи f(x) показывают, что функция применяется к аргументу x. Буква f обозначает правило, а не число, которое нужно умножить на x.
Как понять, допустимо ли выбранное значение аргумента?
Нужно подставить значение в формулу и проверить, можно ли выполнить все действия. Например, знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
§ 39. Что означает в математике запись у = f(х)
