"Алгебра", Муравин Г.К., Муравин К.С., Муравина О.В.
Уравнение — равенство с неизвестным числом, а система объединяет несколько уравнений, которые должны быть верны одновременно. Решая уравнение, находят все значения переменной, при которых равенство становится верным; решая систему — набор значений для всех переменных. Чтобы преобразования не меняли ответ, к обеим частям прибавляют одно и то же число или умножают их на одно и то же ненулевое число. Найденные ответы проверяют подстановкой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение — это равенство, в котором есть переменная, например 3x − 5 = 10. В обычном числовом равенстве обе части уже известны, поэтому можно сразу определить, верно оно или нет. В уравнении нужно найти такие значения переменной, при которых равенство станет верным.
Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство. Например, для уравнения x + 2 = 5 корнем является 3, потому что 3 + 2 = 5. Понятие корня позволяет точно описать, какие ответы мы ищем при решении уравнения.
Система уравнений — несколько уравнений с общими переменными, которые должны выполняться одновременно. Например, в системе с переменными x и y одно и то же значение x и одно и то же значение y должны подходить каждому уравнению. Систему записывают фигурной скобкой, объединяющей входящие в неё равенства.
Решение системы — набор значений переменных, обращающий в верные равенства все уравнения системы. Для двух переменных таким набором обычно служит пара чисел, например x = 4 и y = 3. Это определение помогает не принять за ответ системы значения, подходящие только одному из её уравнений.
Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет. Для этого преобразуют равенство так, чтобы переменная оказалась отделена от чисел, но смысл задачи при этом не изменился. После решения найденное значение подставляют в исходное уравнение: так можно обнаружить ошибку в вычислениях или преобразованиях.
К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же число: равновесие сохраняется, потому что к двум равным величинам добавили одинаковое. Также обе части можно умножить на одно и то же ненулевое число: равные величины останутся равными. Ноль исключён, потому что умножение на него превращает обе части в ноль и уничтожает сведения о первоначальном равенстве.
Перенос слагаемого через знак равенства — это сокращённая запись прибавления противоположного числа к обеим частям. Например, чтобы убрать −5 слева в равенстве 3x − 5 = 10, прибавляют 5 и слева, и справа; справа получается 10 + 5. Поэтому при записи перенесённого слагаемого его знак меняется, а не меняется произвольно.
В системе каждую переменную выбирают так, чтобы одновременно выполнялись все входящие уравнения. Недостаточно найти значения, подходящие одному из них: другие равенства могут не подтвердиться. При решении часто сначала преобразуют уравнения или складывают их так, чтобы найти одну переменную, а затем определяют оставшиеся.
Проверяя решение системы, найденный набор подставляют в каждое уравнение отдельно. Такая проверка нужна потому, что решение — это не просто пара чисел, полученная в ходе вычислений, а пара, удовлетворяющая всем условиям сразу. Если хотя бы одно равенство неверно, значит, набор не является решением системы.
| Что сравниваем | Уравнение | Система уравнений |
|---|---|---|
| Что требуется выполнить | Одно равенство с переменной должно стать верным. | Все входящие равенства должны быть верными одновременно. |
| Что считается решением | Корень или все корни уравнения. | Набор значений общих переменных. |
| Как проверить найденный ответ | Подставить значение в уравнение. | Подставить набор значений в каждое уравнение. |
| Как записывают ответ | Например, x = 5. | Например, x = 4, y = 3. |
Сравнивайте прежде всего, сколько условий должен выполнить ответ: одно или сразу несколько. Затем смотрите, что именно записывается в ответ — значение переменной или набор значений. Последняя строка напоминает, как оформить найденный результат.
Ответ: x = 5.
Ответ: x = 7.
Ответ: x = 4, y = 3.
При переносе слагаемого иногда оставляют прежний знак, например записывают −5 справа вместо +5. Так происходит, когда переносят слагаемое как отдельное действие и забывают, что к обеим частям прибавляют противоположное число. Проверьте себя: выполните это действие явно с обеими частями, и знак станет очевидным.
Нельзя умножать или делить обе части уравнения на ноль. Ошибка возникает из-за привычки считать любое одинаковое действие с частями допустимым, хотя умножение на ноль стирает исходные значения. Проверяйте число, на которое умножаете или делите: оно должно быть ненулевым.
Иногда найденное при преобразованиях значение сразу записывают как корень и не делают проверку. Ошибка в раскрытии скобок или арифметике может привести к неверному результату, даже если дальнейшие шаги выполнены правильно. Подставьте значение в исходное уравнение: верное числовое равенство подтверждает ответ.
В системе найденную пару могут проверить только по одному уравнению. Так поступают, если забывают, что все условия системы действуют одновременно, но второе равенство может не выполняться. Подставьте каждое значение на своё место во все уравнения и отдельно убедитесь, что каждое равенство верно.
Чтобы уверенно решать уравнения, нужны действия с рациональными числами, то есть числами, которые можно представить в виде дроби, а также умение раскрывать скобки и упрощать выражения. Эти навыки помогают выполнять преобразования без ошибок и собирать похожие слагаемые. Уравнения и системы пригодятся при решении текстовых задач: неизвестные величины обозначают переменными и связывают условия равенствами. Они также связаны с линейными функциями, где зависимость между переменными задаётся формулой.
Чем уравнение отличается от обычного равенства?
В числовом равенстве сравниваются известные числа, и его истинность можно сразу проверить. В уравнении есть переменная, и нужно выяснить, при каких её значениях равенство верно.
Что называют корнем уравнения?
Корень — это значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство. Его можно проверить, подставив значение вместо переменной.
Почему при переносе слагаемого через знак равенства меняется знак?
Перенос — это короткая запись действия: к обеим частям прибавляют число, противоположное переносимому слагаемому. Поэтому, например, слагаемое +5 в другой части записывается как −5.
Чем решение системы отличается от корня одного уравнения?
Корень относится к одному уравнению и задаёт значение одной или нескольких переменных. Решение системы — это набор значений переменных, который одновременно подходит каждому уравнению системы.
Как проверить, что найденная пара чисел является решением системы?
Подставьте первое число вместо одной переменной, а второе — вместо другой в каждое уравнение. Если оба равенства верны, пара является решением системы.
32. Уравнения и системы уравнений
