"Алгебра", Муравин Г.К., Муравин К.С., Муравина О.В.
Текстовая задача описывает словами ситуацию, в которой известны некоторые величины и требуется найти другие. Чтобы решить её, нужно понять связи между величинами, обозначить неизвестное буквой и перевести условие на язык математики — составить выражение или уравнение. Уравнение помогает найти нужное значение, но решение завершается только после проверки: подходит ли результат ситуации и правильно ли указаны величина и единица измерения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Текстовая задача — условие, которое словами описывает ситуацию, сообщает данные и задаёт вопрос. Данные — это уже известные величины, например число предметов или расстояние, а вопрос указывает, что нужно найти. Если отделить известное от неизвестного, станет понятнее, какие сведения связывать между собой.
Неизвестная величина — величина, значение которой требуется найти. Её обычно обозначают буквой, например x, и сразу поясняют, что именно она означает. Через эту букву можно выразить другие величины: если в одной коробке на 8 карандашей больше, чем в другой, то при x карандашах в меньшей в большей будет x + 8.
Математическая модель — запись ситуации с помощью чисел, выражений, равенств или уравнений. Она сохраняет важные связи из условия, но делает их удобными для вычислений. Например, если два количества вместе составляют 30, моделью может стать равенство x + (x + 8) = 30.
Уравнение — равенство с неизвестным, значение которого находят так, чтобы равенство стало верным. В задаче оно выражает связь между величинами, поэтому его корень должен помогать ответить на поставленный вопрос. Если x обозначает число карандашей в меньшей коробке, сначала находят x, а затем по нему определяют количество в другой.
Решение начинается с внимательного чтения условия, потому что при первом чтении легко заметить числа, но пропустить связь между ними. Сначала найди вопрос, затем подчеркни данные и выясни, какие величины описывают эти числа. Слова «всего», «осталось», «на столько-то больше» подсказывают отношения между величинами, но сами по себе ещё не задают готовое уравнение. Если в условии несколько величин или действий, запиши данные в таблицу либо изобрази схему: так легче увидеть, что известно и чего не хватает.
Выбор неизвестной влияет на все дальнейшие записи, поэтому букву стоит назначать осмысленно. Обычно удобно обозначить x величину, о которой спрашивают: тогда полученное значение сразу связано с ответом. Иногда проще выбрать другую величину, если через неё остальные выражаются короче и понятнее. В любом случае подпиши, что означает буква, и проверь, что выраженные через неё величины соответствуют условию.
Уравнение составляют по связи между величинами, а не по отдельным словам, которые встретились в задаче. Например, если две части вместе образуют целое, сумма выражений для частей должна равняться целому. Левая и правая части уравнения должны описывать одну и ту же величину или два способа описать одну связь. Перед решением полезно проговорить смысл записи: это помогает заметить, если число или выражение оказалось не на своём месте.
Когда уравнение составлено, его решают знакомыми алгебраическими приёмами: упрощают выражения и выполняют одинаковые действия с обеими частями равенства. Так равенство сохраняется, а неизвестное постепенно отделяется от чисел. Каждый переход должен быть законным, иначе найденное значение может оказаться неверным даже при правильно понятом условии. После решения не забывай, что корень уравнения — ещё не всегда готовый ответ задачи.
В конце нужно проверить найденное значение и по уравнению, и по смыслу ситуации. Подстановка показывает, верно ли решено уравнение, а оценка смысла помогает понять, допустимо ли значение: например, может ли количество предметов быть отрицательным. Если величины связаны, вычисли и те из них, которые нужны для полного ответа. Ответ запиши словами, с названием величины и подходящей единицей измерения.
| Этап | Что сделать | Что должно получиться |
|---|---|---|
| Прочитать условие | Выделить данные и вопрос | Понятно, что известно и что нужно найти |
| Обозначить неизвестное | Выбрать букву и пояснить её смысл | Неизвестная величина записана через x |
| Выразить связанные величины | Записать их через выбранную букву | Получены нужные выражения |
| Составить уравнение | Передать равенством связь из условия | Получено уравнение с неизвестным |
| Решить уравнение | Найти значение неизвестного | Получен корень уравнения |
| Проверить и записать ответ | Сверить значение с уравнением и условием | Записан подходящий ответ с единицей |
Используй таблицу как маршрут: переходи к следующему этапу, когда ясно, что получилось на предыдущем. Если уравнение не складывается, вернись к выражениям величин и проверь, точно ли они передают условие. В конце отдельно проверь вычисления и смысл ответа.
Задача 1. В одной коробке на 8 карандашей больше, чем в другой. Всего в коробках 30 карандашей. Сколько карандашей в каждой коробке?
Ответ: 11 карандашей и 19 карандашей.
Задача 2. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 54 км. Скорости велосипедистов 12 км/ч и 15 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
Ответ: велосипедисты встретятся через 2 часа.
Задача 3. За 3 одинаковые тетради и ручку заплатили 145 рублей. Ручка стоит на 25 рублей дороже тетради. Сколько стоит тетрадь и сколько — ручка?
Ответ: тетрадь стоит 30 рублей, ручка — 55 рублей.
Не объяснить, что означает буква. Тогда легко перепутать величины и принять найденное значение, например, за цену ручки вместо цены тетради. Так бывает, когда ученик спешит перейти к уравнению. Перед записью проверь: можно ли по подписи однозначно понять, какую величину обозначает x?
Смешать «на несколько больше» и «в несколько раз больше». В первом случае к величине прибавляют число, во втором — умножают на число. Ошибка возникает из-за похожего звучания сравнений. Сверься с условием: разность величин должна быть указанным числом или одна величина должна быть во столько-то раз больше другой?
Составить уравнение без связи с условием. Тогда запись может содержать правильные числа, но описывать не ту ситуацию. Часто это происходит, если переводить отдельные слова в знаки, не объясняя смысл частей уравнения. Подпиши, что обозначают левая и правая части, и проверь, описывают ли они одну и ту же величину.
Считать корень окончательным ответом без проверки. Он может не подходить к смыслу задачи или быть только промежуточной величиной, например количеством в одной коробке, когда спрашивают о двух. Такая ошибка появляется, если после решения сразу остановиться. Подставь значение в уравнение, проверь условие и запиши все требуемые величины с единицами измерения.
Для решения текстовых задач нужны навыки, которые изучают в алгебре: обозначение чисел буквами, составление выражений и решение линейных уравнений. Также важны понятия величины и единицы измерения, ведь числа в условии описывают конкретные объекты и действия. Многие задачи основаны на зависимостях между величинами, например на формуле расстояние = скорость × время. Умение строить математическую модель пригодится при изучении систем уравнений и функций, а также при решении задач по геометрии и естественным наукам.
Как понять, какую величину удобнее обозначить через x?
Часто буквой x обозначают величину, о которой спрашивают. Но можно выбрать и другую неизвестную, если через неё проще выразить остальные величины и составить уравнение. В начале решения обязательно подпиши, что означает x.
Как перевести слова «на несколько больше» в математическую запись?
Если величина больше на некоторое число, это число прибавляют: «на 8 больше» записывают как x + 8. Не путай такое сравнение с «в 8 раз больше»: тогда величину умножают на 8.
Как проверить, правильно ли составлено уравнение?
Объясни словами, что означает левая часть и что означает правая. Обе части должны описывать одну и ту же величину или два способа выразить одну и ту же связь из условия. Затем подставь найденное значение и проверь, выполняется ли равенство.
Нужно ли записывать отрицательный корень, если он получился при решении задачи?
Отрицательный корень можно получить при решении уравнения, но он не всегда подходит к задаче. Если x обозначает количество предметов, время или длину, отрицательное значение обычно не имеет смысла. Проверь условие и запиши только подходящее значение.
Чем проверка корня уравнения отличается от проверки ответа по условию?
При проверке корня подставляют найденное число в уравнение и убеждаются, что равенство верно. При проверке по условию выясняют, подходят ли полученные величины ситуации: например, не стали ли количество или время отрицательными. Для полного ответа нужны обе проверки.
Практикум по решению текстовых задач
