§1. Функции и их свойства

Определения и обозначения

Функция — это соответствие, при котором каждому допустимому значению x соответствует ровно одно значение y. Записывают y = f(x), а f(x) называют значением функции при аргументе x. Одному x нельзя сопоставить сразу два разных y. Это определение помогает отличить функцию от других зависимостей.

Область определения функции — множество всех значений аргумента, для которых функция задана; её обозначают D(f). Иными словами, это все допустимые входные значения x. Область определения нужна, чтобы не подставлять в формулу значения, при которых она теряет смысл. Например, знаменатель дроби не может быть равен нулю.

Область значений функции — множество всех значений, которые она принимает; обозначение — E(f). Она описывает возможные результаты y, а не допустимые аргументы x. С её помощью можно понять, например, ограничены ли значения функции сверху или снизу. Области определения и значений отвечают на разные вопросы.

График функции — множество точек координатной плоскости с координатами (x; f(x)), где x принадлежит области определения. Для каждой такой точки абсцисса равна аргументу, а ордината — значению функции. График наглядно показывает зависимость между x и y. По нему удобно исследовать свойства функции.

Как это устроено

Зависимость может быть задана формулой, таблицей или описанием ситуации. Чтобы проверить, является ли она функцией, выберите любое допустимое значение x и посмотрите, сколько значений y ему соответствует. Если результат каждый раз единственный, это функция; если одному x отвечают два разных y, условие определения нарушено. На графике ту же проверку можно провести вертикальной прямой: она не должна пересекать график более чем в одной точке.

Область определения формулы находят, проверяя, какие действия в ней разрешены. Деление невозможно на ноль, поэтому знаменатель дроби должен быть отличен от нуля. В корне чётной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным, иначе действительного значения корня нет. Если в формуле есть несколько таких действий, ограничения выполняют одновременно и находят значения x, которые удовлетворяют им всем.

На графике область определения видна по допустимым абсциссам: это те x, для которых на графике есть точка. Область значений читают по ординатам — значениям y, которых достигает график. Например, если график начинается при x = 1 и продолжается вправо, меньшие абсциссы не входят в область определения. А если график не опускается ниже оси x, отрицательные значения y функция не принимает.

Нули функции находят, решая уравнение f(x) = 0; это значения x, при которых график пересекает ось x. Между соседними нулями знак функции обычно не меняется, поэтому для определения знакопостоянства достаточно проверить знак в одной точке каждого промежутка. Положительные значения соответствуют участкам графика выше оси x, отрицательные — ниже. Возрастание и убывание исследуют слева направо: подъём графика означает рост значений, спуск — их уменьшение.

Наибольшее и наименьшее значения ищут среди ординат графика на заданном промежутке аргументов. Нужно учитывать не только форму графика, но и то, входят ли границы промежутка: крайняя точка может не принадлежать ему. Если функция не ограничена на промежутке или нужное крайней значение не достигается, максимума либо минимума там может не быть. Поэтому перед ответом проверяют поведение функции и включение концов промежутка.

Основные характеристики функции и способы их определения

Пользуйтесь таблицей как планом исследования: сначала выясните, где функция задана, а затем изучайте её значения и поведение. По графику свойства часто видны сразу, но формула позволяет проверить их вычислениями. Учитывайте границы заданного промежутка: от них может зависеть наличие наибольшего или наименьшего значения.

Разбор задач

Задача 1. Для функции y = 2x − 3 найдите значения функции при x = 0 и x = 4, а также нуль функции. Сначала подставим заданные аргументы в формулу, потому что значение функции получается именно при такой подстановке. Затем найдём, при каком x выражение равно нулю. Это одновременно покажет, где график пересекает ось x.

1. При x = 0 получаем f(0) = 2 · 0 − 3 = −3.
2. При x = 4 получаем f(4) = 2 · 4 − 3 = 5.
3. Для нуля решаем 2x − 3 = 0, откуда 2x = 3 и x = 3/2.

Подстановка даёт значения −3 и 5, а уравнение на нуль — значение аргумента 3/2. Проверка простая: при x = 3/2 формула действительно даёт 2 · 3/2 − 3 = 0. Ответ: f(0) = −3, f(4) = 5; нуль функции — 3/2. Не путайте этот результат с точкой графика: точка пересечения имеет координаты (3/2; 0).

Задача 2. Найдите область определения функции y = √(5 − 2x) и укажите область значений. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, поэтому сначала составим неравенство для x. После этого рассмотрим, какие значения может принять корень. Такой порядок помогает проверить и допустимые аргументы, и возможные результаты.

1. Требуем 5 − 2x ≥ 0, так как квадратный корень из отрицательного числа в действительных числах не определён.
2. Решаем неравенство: −2x ≥ −5, значит, x ≤ 5/2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется.
3. Корень неотрицателен; при x = 5/2 он равен 0, а при уменьшении x подкоренное выражение и значение корня могут расти без ограничения.

Следовательно, область определения — все x, для которых x ≤ 5/2, то есть (−∞; 5/2]. Минимальное значение функции равно нулю и достигается на правой границе. Верхней границы у значений нет, поскольку при уменьшении x выражение 5 − 2x растёт неограниченно. Ответ: D(f) = (−∞; 5/2], E(f) = [0; +∞).

Задача 3. Для функции y = x² − 4 укажите область определения, нули, промежутки знакопостоянства, убывания и возрастания, наименьшее значение. Это квадратичная функция, её график — парабола, ветви которой направлены вверх. Поэтому вершина задаёт минимум, а симметричные пересечения с осью x помогают определить знак выражения. Проверим каждое свойство отдельно.

1. Квадрат можно вычислить при любом действительном x, поэтому область определения — все действительные числа.
2. Решаем x² − 4 = 0: (x − 2)(x + 2) = 0, откуда нули x = −2 и x = 2.
3. Между нулями выражение отрицательно, а вне их положительно: функция отрицательна при −2 < x < 2 и положительна при x < −2 или x > 2.
4. Вершина параболы находится при x = 0. До неё функция убывает, после неё возрастает; значение в вершине равно 0² − 4 = −4.

В точках x = −2 и x = 2 значение функции равно нулю, поэтому эти точки не включаются в промежутки строгого знакопостоянства. Парабола опускается к вершине, а затем поднимается, значит, функция убывает на (−∞; 0] и возрастает на [0; +∞). Наименьшее значение −4 достигается при x = 0; наибольшего значения на всей числовой прямой нет. Ответ: D(f) = ℝ, нули −2 и 2, знак и промежутки монотонности указаны выше, минимум равен −4.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что одному аргументу могут соответствовать несколько значений функции. Такую путаницу вызывают зависимости, которые на первый взгляд похожи на функцию, но не удовлетворяют её главному условию. Проверьте таблицу по каждому x, а график — вертикальными прямыми: если для одного x находятся разные y, это не функция. У функции результат при фиксированном допустимом аргументе всегда единственный.

Ошибка: забывать ограничения при поиске области определения, например разрешать нулевой знаменатель или отрицательное подкоренное выражение в квадратном корне. Обычно причина в том, что решают только общую формулу, не проверяя отдельные действия. Подставьте граничные значения в исходное выражение и убедитесь, что оно имеет смысл. Для нескольких ограничений проверьте, что выполнены они все одновременно.

Ошибка: путать область определения с областью значений. Обе области описывают числа, но первая относится к аргументу x, а вторая — к результату y; это легко перепутать, если смотреть только на обозначения. Спросите себя: «Какие значения можно подставить?» — это D(f); «Какие значения могут получиться?» — это E(f). На графике им отвечают абсциссы и ординаты соответственно.

Ошибка: называть нулём функции точку пересечения графика с осью x. Путаница возникает потому, что нуль и точка пересечения связаны: у точки ордината равна нулю, а нулём функции является её абсцисса. Для проверки решите f(x) = 0 и назовите найденное значение x, а не пару координат. Например, если пересечение — (2; 0), нуль функции равен 2.

Связь с другими темами

Для работы с функциями понадобятся координатная плоскость, числовые промежутки, умение решать уравнения и неравенства. Зависимости между величинами служат основой понятия функции, а изучение её свойств подготавливает к работе с линейными, квадратичными и другими функциями. Исследование графиков помогает решать уравнения и неравенства графическим способом: например, искать точки пересечения графиков или участки, где один график выше другого.

Что запомнить

• Функция каждому допустимому x ставит в соответствие ровно одно значение y.
• Область определения состоит из допустимых значений аргумента.
• Область значений состоит из значений, принимаемых функцией.
• Нули функции — корни уравнения f(x) = 0.
• На графике нули соответствуют точкам пересечения с осью x.
• Возрастание и убывание описывают изменение значений функции при увеличении аргумента.