Уравнение с двумя переменами и его график

Определения и обозначения

Уравнение с двумя переменными — равенство, в котором есть две переменные, например x + y = 5. Переменная — буква, значение которой может меняться. Такое уравнение описывает связь между значениями переменных: если выбрать одно значение, второе часто можно подобрать так, чтобы равенство стало верным.

Решение уравнения с двумя переменными — упорядоченная пара чисел (x; y), при подстановке которой равенство становится верным. Первое число пары относится к x, второе — к y. Эта запись нужна, чтобы не перепутать значения переменных и точно указать, какой набор чисел подходит.

График уравнения с двумя переменными — множество всех точек координатной плоскости, координаты которых образуют решения этого уравнения. Например, паре (1; 4) соответствует точка с абсциссой 1 и ординатой 4. График помогает увидеть все решения сразу и понять, как они расположены на плоскости.

Равносильные уравнения с двумя переменными — уравнения, имеющие одни и те же решения. Их графики поэтому состоят из одних и тех же точек. Понятие равносильности нужно, чтобы заменять уравнение более удобным, не меняя набора подходящих пар.

Как это устроено

Решение записывают именно упорядоченной парой, потому что координаты в ней занимают разные места: первая задаёт положение точки по горизонтали, вторая — по вертикали. Поэтому перестановка чисел может изменить и точку, и истинность равенства. Например, в уравнении x + 2y = 5 пара (1; 2) даёт 1 + 2 · 2 = 5, а пара (2; 1) — 2 + 2 · 1 = 4. Значит, эти пары нельзя считать одним и тем же решением.

Проверка пары сводится к подстановке: число на месте x заменяют переменную x, а число на месте y — переменную y. Затем вычисляют обе части и выясняют, равны ли они. Например, для пары (1; 4) в уравнении x + y = 5 получается 1 + 4 = 5, поэтому это решение. Такой способ надёжнее, чем пытаться определить ответ на глаз.

Одно уравнение может иметь много решений, потому что оно задаёт связь между переменными, но не всегда фиксирует каждую из них отдельно. В равенстве x + y = 2 при x = 0 подходит y = 2, а при x = 1 подходит y = 1; можно подобрать и другие пары. Если подходящее значение одной переменной можно выбирать бесконечно многими способами, уравнение имеет бесконечно много решений. Иногда же условия уравнения несовместимы с возможными значениями переменных, и решений нет.

Каждой паре решения на координатной плоскости соответствует точка, а каждой точке графика — пара, удовлетворяющая уравнению. Поэтому график собирают из всех таких точек, а не только из нескольких удобных примеров. Например, уравнение x + y = 2 можно переписать как y = 2 − x: каждому значению x соответствует точка этой прямой. Точка, координаты которой не удовлетворяют равенству, в график не входит.

Чтобы построить график по уравнению, удобно выбрать несколько значений одной переменной и вычислить соответствующие значения другой. Полученные пары отмечают на координатной плоскости и смотрят, какую линию или другое множество точек они образуют. Для прямой достаточно двух различных точек, но для более сложной кривой одних точек может быть мало: нужно учитывать вид уравнения и проверять, какие ещё точки ему подходят. Делая вывод о графике, нельзя забывать, что он содержит все решения.

Уравнение, его решения и вид графика

Сначала проверьте, что каждая приведённая пара действительно удовлетворяет уравнению: подставьте координаты и выполните вычисления. Столбец с видом графика показывает, почему нельзя заранее считать графиком прямую. Последний столбец предлагает способ находить точки, но перечисленные решения не исчерпывают график.

Разбор задач

Задача 1. Проверьте, является ли пара (1; 4) решением уравнения x + y = 5.

1. Первое число пары относится к x, второе — к y, поэтому вместо x подставляем 1, а вместо y — 4.
2. Вычисляем левую часть: 1 + 4 = 5.
3. Полученное число совпало с правой частью уравнения, значит, равенство верно.

Ответ: пара (1; 4) является решением уравнения.

Задача 2. Найдите три решения уравнения y = 2x − 1 и постройте по ним его график.

1. Выбираем простые значения x, чтобы вычисления были удобными: например, 0, 1 и 2. Каждое из них задаёт отдельную точку графика, если вычислить соответствующее y.
2. При x = 0 получаем y = 2 · 0 − 1 = −1, значит, первая пара — (0; −1). При x = 1 получаем y = 2 · 1 − 1 = 1, поэтому вторая пара — (1; 1).
3. При x = 2 получаем y = 2 · 2 − 1 = 3, то есть третья пара — (2; 3). Проверяем пары подстановкой: в каждом случае равенство y = 2x − 1 выполняется.
4. Отмечаем точки (0; −1), (1; 1) и (2; 3) на координатной плоскости. Они лежат на одной прямой, поэтому проводим через них прямую: это и есть график уравнения.

Ответ: три решения — (0; −1), (1; 1), (2; 3); график — прямая, проходящая через соответствующие точки.

Задача 3. Проверьте, лежит ли точка (2; 1) на графике xy = 2, и опишите, как получить точки этого графика.

1. Координаты точки подставляем в произведение xy: получаем 2 · 1 = 2. Равенство выполняется, значит, точка принадлежит графику.
2. Чтобы получить другие точки, можно выбрать значение x и найти y из xy = 2. При x ≠ 0 делим обе части на x и получаем y = 2/x.
3. Например, если x = 1, то y = 2 и получается точка (1; 2); если x = 4, то y = ½ и получается (4; ½). Значение x = 0 нельзя подставлять в формулу 2/x, поскольку деление на ноль не определено.
4. Отдельно проверяем, может ли x быть равен нулю в исходном уравнении: тогда xy = 0 при любом y, а это не равно 2. Значит, точек с x = 0 на графике нет.

Ответ: точка (2; 1) лежит на графике; его точки можно находить по формуле y = 2/x при x ≠ 0.

Типичные ошибки

Иногда решение записывают одним числом или не указывают порядок координат. Так происходит, когда забывают, что уравнение связывает именно значения конкретных переменных: первое число относится к x, второе — к y. Записывайте пару в виде (x; y) и сверяйте каждое число с переменной, вместо которой его подставляете.

Можно решить, что пара подходит, потому что её числа по отдельности встречаются в вычислениях или кажутся подходящими. Но уравнение проверяет значения вместе, а не каждое число отдельно. Подставьте оба числа одновременно в исходное равенство и доведите вычисления до конца: только верное равенство подтверждает решение.

Ещё одна ошибка — нанести несколько решений и считать, что график состоит только из этих точек. Несколько точек помогают распознать или построить график, но уравнению могут удовлетворять и другие пары. Проверяйте, можно ли получить новые значения переменных, и учитывайте форму графика; для прямой соединяют точки, а не оставляют их разрозненными.

При выражении одной переменной через другую иногда делят на выражение, которое может быть равно нулю. Такой шаг исключает возможный случай или приводит к недопустимому вычислению. Перед делением выясните, при каких значениях знаменатель обращается в ноль, и проверьте эти значения в исходном уравнении отдельно.

Связь с другими темами

Для работы с уравнениями и их графиками нужны координатная плоскость, упорядоченные пары и умение подставлять числа в буквенные выражения. Без этих навыков трудно правильно определить координаты точки, проверить пару или перенести найденные решения на плоскость. Поэтому полезно сначала повторить, как строят точки по координатам.

Эта тема подготавливает к изучению систем уравнений. Решение системы должно удовлетворять каждому уравнению сразу, а на графике ему соответствует общая точка графиков этих уравнений. Так геометрическое пересечение графиков помогает находить решения системы.

Что запомнить

• Решение уравнения с двумя переменными — упорядоченная пара чисел.
• Пару проверяют подстановкой в исходное уравнение.
• График состоит из всех точек, соответствующих решениям, и не содержит точек, не удовлетворяющих уравнению.
• Одно уравнение может иметь одно, несколько или бесконечно много решений.
• Для построения графика находят решения и отмечают соответствующие им точки.