40. Линейное уравнение с двумя переменными

Определения и обозначения

Линейное уравнение с двумя переменными — уравнение вида ax + by = c, где x и y — переменные, а a, b и c — числа; коэффициенты a и b не равны нулю одновременно. Буквы a и b показывают, на какие числа умножаются переменные, а c задаёт правую часть равенства. По записи можно сразу определить, какие значения предстоит связывать уравнением.

Решение уравнения с двумя переменными — пара чисел (x; y), при подстановке которой в уравнение получается верное равенство. Первое число пары относится к переменной x, второе — к y. Такая запись нужна, потому что одного значения недостаточно: уравнение содержит две переменные.

График уравнения с двумя переменными — множество точек координатной плоскости, координаты каждой из которых являются решением уравнения. Координаты точки записывают в порядке (x; y), поэтому по точке можно определить соответствующую пару. График наглядно показывает все решения сразу.

Равносильные уравнения с двумя переменными — уравнения, имеющие одно и то же множество решений. Их записи могут отличаться, но подходящие пары у них совпадают. Это понятие позволяет преобразовывать уравнение, не теряя его решений.

Как это устроено

Уравнение ax + by = c называют линейным, потому что переменные входят в него только в первой степени: x и y не возводятся в квадрат и не перемножаются друг с другом. Коэффициент — число, стоящее при переменной, поэтому a относится к x, а b — к y. Свободный член c не умножается на переменную и находится в правой части. Условие для a и b означает, что в уравнении действительно есть хотя бы одна переменная.

Решение записывают парой, так как значение x само по себе не сообщает, чему равен y. Например, для уравнения 3x + y = 7 пара (2; 1) задаёт сразу оба значения. Чтобы проверить её, нужно поставить 2 вместо x и 1 вместо y, а затем вычислить обе части равенства. Если получились одинаковые числа, пара является решением; если нет — не является.

Чтобы получить несколько решений, удобно самостоятельно назначить значение одной переменной и вычислить другую. Если коэффициент b не равен нулю, из ax + by = c можно выразить y: y = (c − ax) / b. Если b равен нулю, но a не равен нулю, выбирают y и находят x из ax = c. Разные выбранные значения могут дать разные пары, поэтому уравнение часто имеет много решений.

При a ≠ 0 и b ≠ 0 можно выразить y: y = −(a / b)x + c / b. Это линейная функция, то есть зависимость, в которой x умножается на постоянное число и к результату прибавляется постоянное число. График такой функции — прямая, поэтому и решения исходного уравнения располагаются на прямой. Условие a и b не равны нулю одновременно охватывает также случаи, когда один коэффициент равен нулю.

Для построения графика находят две пары решений и отмечают точки с такими координатами на плоскости. Через две различные точки можно провести единственную прямую, поэтому этого достаточно для построения. Остальные решения тоже лежат на ней: каждое из них удовлетворяет тому же уравнению и задаёт точку графика. Если точка не попала на проведённую прямую, стоит проверить вычисления или разметку координат.

Линейное уравнение с двумя переменными и его решения

Сначала определите, что именно рассматривается: запись уравнения, отдельная пара, способ поиска пар или их изображение. Затем сопоставьте это с подходящей строкой таблицы. Она помогает не путать решение как пару чисел с графиком, состоящим из соответствующих точек.

Разбор задач

Проверка пары

Проверим, является ли пара (2; 1) решением уравнения 3x + y = 7. Нужно подставить оба числа, соблюдая порядок записи: первое число относится к x, второе — к y. Затем сравним полученное значение левой части с правой частью. Проверка всего равенства надёжнее, чем отдельные вычисления.

1. Подставляем значения: 3 · 2 + 1 = 7.
2. Вычисляем левую часть: 6 + 1 = 7.
3. Сравниваем стороны: слева и справа получилось 7, значит равенство верно.

Ответ: пара (2; 1) является решением уравнения 3x + y = 7.

Поиск нескольких решений

Найдём три решения уравнения 2x + y = 6. Чтобы получить пары, выразим y через x: y = 6 − 2x. Теперь можно выбрать удобные значения x и для каждого вычислить y. При выборе числа стоит следить, чтобы подстановка была простой и не возникало ошибок со знаками.

1. Пусть x = 0. Тогда y = 6 − 2 · 0 = 6, получаем пару (0; 6).
2. Пусть x = 1. Тогда y = 6 − 2 · 1 = 4, получаем пару (1; 4).
3. Пусть x = 2. Тогда y = 6 − 2 · 2 = 2, получаем пару (2; 2).

Ответ: три решения — (0; 6), (1; 4) и (2; 2). Каждую пару можно проверить подстановкой в исходное уравнение: левая часть каждый раз равна 6. Выбор других значений x дал бы и другие решения.

Построение графика

Построим график уравнения 2x + y = 4. Выразим y: y = 4 − 2x, чтобы для выбранных x сразу находить координаты y. Нам понадобятся две различные пары, а удобнее взять такие значения, чтобы вычисления были простыми. После этого отметим точки на координатной плоскости.

1. При x = 0 получаем y = 4 − 2 · 0 = 4, значит, первая точка имеет координаты (0; 4).
2. При x = 2 получаем y = 4 − 2 · 2 = 0, значит, вторая точка — (2; 0).
3. Отмечаем обе точки и проводим через них прямую. Для проверки подставляем координаты каждой точки в уравнение: в обоих случаях равенство верно.

Ответ: график — прямая, проходящая через точки (0; 4) и (2; 0). Любая другая точка этой прямой также задаёт решение уравнения. Если провести через найденные точки кривую, получится не график линейного уравнения.

Типичные ошибки

• Записывают одно число как решение, забывая о второй переменной. Так бывает, когда внимание сосредоточено только на вычислении значения x или y. Проверьте себя: решение должно содержать два числа в записи (x; y).

• Подставляют числа не в те переменные, например первое — вместо y. Причина часто в том, что порядок пары кажется несущественным, хотя он фиксирован. Перед вычислениями подпишите: первое число — x, второе — y.

• Считают пару решением после отдельных вычислений, не сравнив стороны равенства. Можно правильно найти значения выражений, но ошибиться в итоговом выводе. Вычислите левую часть целиком и проверьте, равна ли она правой части.

• Строят график по одной точке или соединяют точки кривой. Одной точки недостаточно, чтобы однозначно провести прямую, а для линейного уравнения график прямой. Найдите две различные пары, отметьте точки и проведите через них прямую.

Связь с другими темами

Для работы с уравнениями нужно уметь подставлять числа вместо переменных, выполнять действия и проверять равенства. Эти навыки помогают и при поиске решений, и при проверке готовой пары. Координатная плоскость связывает алгебраическую запись с точками и графиками. Позже это представление пригодится при изучении графиков линейных функций. А несколько уравнений с общими переменными образуют систему линейных уравнений, решения которой ищут одновременно.

Что запомнить

• Решение уравнения с двумя переменными — упорядоченная пара чисел.
• Пару проверяют подстановкой обоих значений в исходное уравнение.
• Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид ax + by = c.
• Уравнение с двумя переменными может иметь много решений.
• Если a и b не равны нулю одновременно, график уравнения ax + by = c — прямая.
• Для построения прямой достаточно найти две различные точки графика.