§ 47. Группировка данных

Определения и обозначения

Вариационный ряд — значения изучаемого признака, упорядоченные по возрастанию. Например, числа 7, 2, 5 превращаются в ряд 2, 5, 7. Порядок помогает сразу увидеть крайние значения и подготовить данные к распределению по интервалам. Без него длинный список пришлось бы многократно просматривать.

Размах — разность между наибольшим и наименьшим значениями набора. Его находят вычитанием: размах = наибольшее значение − наименьшее значение. Размах показывает, насколько далеко друг от друга находятся крайние наблюдения. Он нужен, чтобы понять, какой промежуток предстоит охватить интервалами.

Интервал группировки — промежуток значений, в который объединяют близкие данные. Например, рост от 140 см до 145 см можно считать одним интервалом. Интервалы должны вместе покрыть весь набор, чтобы ни одно наблюдение не осталось снаружи. Они не должны перекрываться, иначе одно значение может попасть сразу в несколько групп.

Частота — количество значений, попавших в выбранный интервал. Если в промежутке от 140 см до 145 см находятся три наблюдения, его частота равна 3. По частотам видно, в каких интервалах данных больше или меньше. Сумма частот должна равняться общему числу наблюдений.

Как это устроено

Длинный список трудно просматривать: крайние значения могут быть в любом месте, а соседние наблюдения не обязательно стоят рядом. Поэтому сначала числа упорядочивают по возрастанию. В начале вариационного ряда оказывается наименьшее значение, а в конце — наибольшее. Так проще проверить границы будущей группировки и не потерять крайние данные.

Зная минимум и максимум, находят размах — длину промежутка между ними. Этот промежуток нужно разделить на интервалы, иначе часть значений останется вне таблицы. Например, если минимальное значение 140, а максимальное 160, интервалы должны охватывать весь отрезок от 140 до 160. Размах не подсказывает единственно верное число групп, но помогает выбрать подходящую ширину.

После выбора ширины записывают границы интервалов так, чтобы между ними не было пробелов и они не накладывались. Удобное правило — включать левую границу, но не включать правую: тогда интервалы [140; 145) и [145; 150) разделяют данные однозначно. Значение 145 относится ко второму интервалу, а не к обоим сразу. Для максимума последний интервал можно задать закрытым справа, например [155; 160].

Затем каждое наблюдение относят ровно к одному подходящему интервалу и подсчитывают, сколько значений оказалось в каждом. Полученные числа и есть частоты. Их складывают и сравнивают с общим количеством исходных наблюдений: равенство подтверждает, что данные распределены полностью. Если сумма не совпала, стоит проверить границы и пересчитать группы.

Группировка превращает длинный список в краткую таблицу, поэтому легче сравнить, где наблюдений больше, а где меньше. Это удобно, когда данных много и важна общая картина. Однако внутри интервала отдельные значения становятся невидимыми: например, группа с частотой 4 не сообщает, какие именно четыре числа в неё вошли. Поэтому для подробных выводов может понадобиться исходный список.

Группировка набора данных по интервалам

Заполни строки по порядку: укажи границы, распредели наблюдения и запиши частоты. Перед подсчётом договорись, какую границу включать в каждый интервал. В строке «Итого» проверь, что сумма частот равна количеству исходных данных.

Разбор задач

Задача 1. Для ряда 2, 4, 4, 5, 7, 8, 9 составить вариационный ряд и найти размах. Данные уже стоят по возрастанию, но это нужно проверить, а не предполагать. Затем достаточно определить крайние значения и найти их разность. Повтор числа 4 не меняет положение крайних значений.

1. Сравним соседние числа: каждое следующее не меньше предыдущего, значит, ряд уже упорядочен.
2. Запишем вариационный ряд: 2, 4, 4, 5, 7, 8, 9.
3. Наибольшее значение равно 9, наименьшее — 2. Вычислим размах: 9 − 2 = 7.

Ответ: вариационный ряд — 2, 4, 4, 5, 7, 8, 9; размах равен 7.

Задача 2. Рост 12 учеников дан в сантиметрах. Нужно разделить значения от 140 до 160 на равные интервалы шириной 5 см. В условии не перечислены сами 12 измерений, поэтому числовые частоты без них определить нельзя. Чтобы показать способ, возьмём отдельный примерный набор: 140, 142, 145, 146, 149, 150, 151, 154, 155, 157, 159, 160.

1. Зададим интервалы [140; 145), [145; 150), [150; 155) и [155; 160]. Первые три включают левую, но не правую границу; в последнем включены обе границы.
2. Распределим примерные значения: в первый попали 140 и 142; во второй — 145, 146 и 149; в третий — 150, 151 и 154.
3. В последний интервал попали 155, 157, 159 и 160. Запишем частоты по порядку: 2, 3, 3 и 4.
4. Проверим сумму: 2 + 3 + 3 + 4 = 12, то есть учтены все значения примерного набора.

Ответ: для приведённого примера частоты равны 2, 3, 3 и 4. Для настоящих измерений таблицу нужно заполнить по фактическим значениям роста.

Задача 3. Сгруппируем результаты измерений 3, 5, 7, 8, 12, 13, 16, 18, 21. Чтобы таблица была читаемой, выберем ширину 5 и интервалы [0; 5), [5; 10), [10; 15), [15; 20), [20; 25). Такой выбор покрывает весь набор, а одинаковая ширина упрощает сравнение групп.

1. В интервал [0; 5) входит число 3, поэтому частота равна 1.
2. В [5; 10) входят 5, 7 и 8; в [10; 15) — 12 и 13. Частоты этих интервалов равны 3 и 2.
3. В [15; 20) находятся 16 и 18, а в [20; 25) — 21. Частоты равны 2 и 1.
4. Сложим частоты: 1 + 3 + 2 + 2 + 1 = 9. Это количество исходных результатов, значит, каждое наблюдение учтено.

Ответ: частоты по порядку — 1, 3, 2, 2, 1. Если сделать интервалы гораздо шире, различия между результатами будут скрыты; если гораздо уже — таблица почти не сократит исходный список.

Типичные ошибки

Если не упорядочить данные, можно принять число в середине списка за минимум или максимум и неверно вычислить размах. Так бывает, когда торопятся и считают, что крайние значения уже стоят по краям. Проверь, что каждое число не меньше предыдущего, и только затем бери первое и последнее значения ряда. Если порядок нарушен, сначала переставь числа.

Интервалы, которые не охватывают минимум или максимум, оставляют часть наблюдений вне таблицы. Ошибку допускают, когда строят промежуток только по удобным круглым границам и забывают проверить крайние данные. Сопоставь первую и последнюю границы с наименьшим и наибольшим значениями. Каждое исходное число должно подходить хотя бы к одному интервалу.

Пересекающиеся интервалы или неоговорённые границы могут привести к двойному подсчёту или пропуску значения. Особенно легко ошибиться, если число совпадает с общей границей двух групп. Запиши правило включения границ, например «слева включительно, справа исключительно», и отдельно определи правило для последнего интервала. Затем проверь несколько граничных значений.

Частота — не значение признака, а число наблюдений в группе. Например, частота 4 не означает, что измеренный рост равен 4 см: она сообщает, что в интервале четыре наблюдения. Ошибку провоцирует одинаковая запись чисел в таблице без пояснений. Подпиши столбцы и проверь, что сумма частот совпадает с числом всех данных.

Связь с другими темами

Для группировки нужны навыки сравнения и упорядочивания чисел, поиска наибольшего и наименьшего значений и вычисления разности. Поэтому сначала полезно уверенно находить крайние элементы числового набора и считать размах. Результат группировки записывают в таблицу частот — так представляют итоги статистических наблюдений. Этот способ помогает анализировать большие наборы данных, например результаты измерений.

Что запомнить

• Вариационный ряд упорядочен по возрастанию.
• Размах равен разности наибольшего и наименьшего значений.
• Интервалы должны охватывать весь набор данных.
• Каждое значение относят ровно к одному интервалу.
• Частота интервала — число попавших в него наблюдений.
• Сумма частот равна числу всех наблюдений.
• Группировка упрощает анализ, но не сохраняет сведения о каждом отдельном значении.