"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Линейная зависимость меняется равномерно: одинаковые прибавки к аргументу дают одинаковые прибавки функции. Но многие реальные процессы устроены иначе: путь тела может расти всё быстрее, а при неизменной площади прямоугольника увеличение длины уменьшает его ширину. Такие процессы описывают нелинейными зависимостями. По формуле, таблице и графику можно исследовать характер изменения величин, однако модель применима только при допустимых значениях переменных и в подходящем для задачи диапазоне.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Нелинейный процесс — процесс, в котором изменение одной величины не приводит к постоянному изменению другой. Например, если с каждым одинаковым промежутком времени путь тела увеличивается на всё большее число метров, процесс нелинейный. Это понятие нужно, чтобы отличать равномерные изменения от процессов с меняющимся темпом.
Нелинейная зависимость — зависимость, при которой равным приращениям аргумента соответствуют разные приращения функции. Аргумент — величина, которую выбирают независимо, а функция зависит от её значения. Сравнение приращений помогает проверить, можно ли описать связь линейной функцией.
Математическая модель — формула, таблица или график, описывающие реальный процесс с помощью математических величин. Например, формула может связывать время движения с пройденным путём. Модель нужна, чтобы вычислять значения и рассуждать о процессе, не воспроизводя его каждый раз в действительности.
График зависимости — множество точек координатной плоскости, показывающее связь между аргументом и функцией. Координаты точки имеют вид (x; y), где x — аргумент, а y — соответствующее ему значение функции. По графику удобно видеть, как меняется величина и какой характер имеет зависимость.
Чтобы описать реальный процесс, сначала выбирают величины, которые в нём меняются, а затем обозначают их буквами. Например, при движении удобно взять время t за аргумент, а пройденный путь s — за зависимую величину. Выбор зависит от вопроса задачи: если нужно узнать, как меняется путь со временем, именно время задают, а путь вычисляют. После этого условие переводят на язык формул, таблиц или графиков.
Постоянное отношение величин часто указывает на прямую пропорциональность: если y/x постоянно, то y = kx. Постоянное приращение функции при равных приращениях аргумента указывает на линейную зависимость y = kx + b. Причина в том, что у такой формулы каждый одинаковый шаг по x добавляет к y одну и ту же величину. Поэтому графиком линейной функции служит прямая.
Если одинаковые шаги аргумента дают разные изменения функции, процесс нелинейный. Например, для y = x² при переходе от x = 0 к x = 1 функция увеличивается на 1, а от x = 1 к x = 2 — уже на 3. Разница возникает из-за того, что в формуле аргумент умножается сам на себя: каждый следующий шаг влияет на результат иначе. Поэтому для проверки зависимости полезно сравнивать несколько последовательных приращений.
Для построения графика сначала составляют таблицу: выбирают значения аргумента, вычисляют соответствующие значения функции, а затем отмечают полученные пары на координатной плоскости. У линейной зависимости точки располагаются на одной прямой; нелинейная зависимость обычно образует кривую другого вида. Например, точки y = x² располагаются на параболе. Точки соединяют с учётом смысла процесса: значения времени и длины пути часто могут меняться непрерывно, а число предметов принимает только целые значения.
Формула сама по себе не означает, что модель подходит при любых значениях переменных. В задаче о сторонах прямоугольника длина и ширина должны быть положительными, а в зависимости y = 24/x аргумент не может быть равен нулю. Кроме того, формула пути может описывать движение только на ограниченном промежутке времени и при определённых условиях. Поэтому область применимости модели устанавливают по смыслу задачи, а не только по вычислениям.
Таблица помогает увидеть, какие признаки отличают разные зависимости: как меняется функция, каким будет график и с каким процессом может быть связана формула. Примеры процессов условны: точная модель зависит от условий задачи. Сравнивайте приращения только при одинаковых шагах аргумента.
| Вид зависимости | Пример формулы | Изменение функции при равных приращениях аргумента | Вид графика | Пример процесса |
|---|---|---|---|---|
| Линейная зависимость | y = 2x + 1 | Одинаковое | Прямая | Стоимость нескольких одинаковых товаров с постоянной ценой за штуку |
| Квадратичная зависимость | y = x² | Обычно различается | Парабола | Путь при равноускоренном движении из состояния покоя (с точностью до постоянного множителя) |
| Обратная пропорциональность | y = k/x, x ≠ 0 | Различается | Гипербола | Связь длины и ширины прямоугольника при постоянной площади |
| Показательная зависимость | y = aˣ, a > 0, a ≠ 1 | Изменения обычно увеличиваются или уменьшаются в постоянное число раз | Кривая | Рост величины, которая за равные промежутки времени меняется в одинаковое число раз |
Задача 1. Для зависимости y = x² составить таблицу значений при x = −2, −1, 0, 1, 2, построить график и определить, является ли зависимость линейной. Сначала подставим каждое значение x в формулу, затем проверим приращения y между соседними строками. Такой способ показывает и точки будущего графика, и характер изменения функции.
Ответ: таблица составлена, график проходит через указанные точки и имеет вид параболы; зависимость нелинейная. Точки можно соединить плавной линией, потому что формула определена и для промежуточных значений x.
Задача 2. Путь тела задан формулой s = 2t². Найдём путь за 1, 2 и 3 секунды и сравним приросты за равные промежутки времени. Здесь время — аргумент, а путь — зависимая величина, поэтому подставляем t в формулу и отдельно сравниваем соседние результаты.
Ответ: за 1, 2 и 3 секунды тело прошло соответственно 2, 8 и 18 м. За одинаковые промежутки времени путь увеличивается на 6 и 10 м, то есть прирост не постоянен.
Задача 3. Площадь прямоугольника равна 24 см². Выразим ширину y через длину x, составим таблицу допустимых значений и объясним, почему зависимость нелинейная. Площадь равна произведению длины на ширину, поэтому связь величин можно получить из равенства xy = 24.
Ответ: y = 24/x, где x > 0; подходящая таблица приведена выше. Зависимость нелинейная, потому что при равных шагах длины изменения ширины неодинаковы.
Считать любую связь между двумя величинами линейной — ошибка: само наличие формулы ещё не гарантирует постоянного изменения. Её допускают, когда смотрят только на то, что при изменении одной величины меняется другая. Проверьте себя: вычислите приращения функции для нескольких одинаковых шагов аргумента; если они различаются, зависимость не линейная.
Делать вывод о линейности по двум точкам нельзя. Через любые две разные точки можно провести прямую, даже если другие точки графика этой прямой не принадлежат. Чтобы избежать ошибки, возьмите не менее трёх значений аргумента и проверьте приращения или подставьте дополнительные значения в предполагаемую формулу.
Если не учитывать допустимые значения переменной, можно включить в ответ число, при котором формула не имеет смысла. Например, в y = 24/x нельзя подставить x = 0, потому что получится деление на ноль; кроме того, длина прямоугольника должна быть положительной. Перед вычислениями проверьте знаменатель и соотнесите результат с условиями задачи.
Автоматически соединять точки графика отрезками тоже неверно. Так можно изобразить значения, которые реальный процесс не принимает, например дробное число людей, или перейти за границы применимости модели. Сначала выясните, может ли аргумент меняться непрерывно и какой диапазон допустим; только затем выбирайте, соединять ли точки плавно, отрезками или оставлять отдельными.
Для работы с зависимостями нужны координатная плоскость, таблицы значений и умение строить график линейной функции. Эти знания позволяют сравнивать прямую с графиками других форм и проверять, как изменяется функция при равных шагах аргумента. Далее нелинейные зависимости изучают подробнее на примерах квадратичной, обратной пропорциональной и показательной функций. Идея математической модели помогает переводить текстовые условия и описания физических процессов в формулы, а затем оценивать, подходят ли найденные результаты реальности.
Чем нелинейный процесс отличается от линейного?
В линейном процессе равным изменениям аргумента соответствуют равные изменения зависимой величины. В нелинейном это соответствие обычно не сохраняется, поэтому график не является прямой.
Достаточно ли двух точек, чтобы определить, является ли зависимость линейной?
Нет. Через любые две точки можно провести прямую, поэтому они сами по себе не показывают, лежат ли на ней остальные точки графика. Нужно проверить несколько значений или исследовать формулу.
Как по таблице значений распознать нелинейную зависимость?
Сравните приращения функции при одинаковых приращениях аргумента. Если они различаются, зависимость не линейная. Например, у y = x² при переходе x от 0 к 1 значение y растёт на 1, а от 1 к 2 — на 3.
Почему для зависимости y = k/x нельзя брать x = 0?
При x = 0 выражение k/x не определено: делить на ноль нельзя. Поэтому ноль не входит в область допустимых значений аргумента, а график не пересекает ось y.
Всегда ли математическая модель точно описывает реальный процесс?
Не всегда: модель упрощает реальность и может не учитывать некоторые факторы. Она описывает процесс достаточно хорошо лишь в определённых условиях и диапазоне значений, заданных смыслом задачи.
§ 1. Представление о некоторых нелинейных процессах
