"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Текстовую задачу удобно решать, если сначала перевести её условие на язык математики. Для этого выделяют известные и неизвестные величины, связывают их выражениями и составляют уравнение. Такая запись называется математической моделью: она сохраняет важные отношения из условия и помогает найти ответ вычислениями. Но одного решения уравнения недостаточно: найденное значение нужно проверить по смыслу задачи и записать ответ с единицами измерения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Математическая модель — это запись условия задачи с помощью выражений, уравнений или других математических объектов. Она передаёт отношения между величинами, а не просто заменяет слова символами. Благодаря модели можно решать задачу математическими способами и затем сопоставить результат с исходной ситуацией.
Неизвестная величина — величина, значение которой требуется найти. Её обозначают буквой и сразу поясняют, что именно эта буква означает, например: x — число километров в час. Такое пояснение помогает не перепутать величины и правильно выразить остальные через выбранную неизвестную.
Уравнение — равенство с неизвестным, верность которого зависит от значения этой неизвестной. В текстовой задаче оно связывает известные данные и неизвестные величины так, как этого требует условие. Решая уравнение, мы находим значение, которое удовлетворяет записанной связи.
Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение становится верным. Однако корень описывает лишь решение математической записи, а не обязательно подходящий ответ задачи. Например, отрицательное значение может быть корнем уравнения, но не иметь смысла, если речь идёт о длине участка.
Начинать нужно с чтения условия, а не с первых попавшихся вычислений. Выпишите, что известно, что требуется найти и какие величины связаны между собой. Это помогает отделить важные данные от описательных слов и не потерять условие, которое понадобится при составлении модели.
Выбор неизвестной определяет, насколько простыми будут дальнейшие записи. Часто за x принимают величину, о которой спрашивают, потому что тогда ответ находится сразу. Но если искомую величину трудно связать с данными напрямую, удобнее обозначить буквой другую величину и выразить искомую через неё.
Слова условия нужно переводить в выражения, сохраняя отношения между величинами. Например, «на 5 больше числа» означает x + 5, а не 5x; «в 5 раз больше» означает 5x. Такая запись получается не из отдельных слов сама по себе: сначала нужно понять, какие именно величины сравниваются и как они связаны.
Когда величины выражены через выбранную букву, составляют уравнение. Равенство должно передавать ключевое условие задачи: например, сумму частей, равную целому, или общий путь, равный сумме пройденных расстояний. Затем уравнение решают преобразованиями, которые сохраняют его решения: к обеим частям можно прибавлять одно и то же число или умножать обе части на одно и то же ненулевое число.
После вычислений нужно вернуться от букв и чисел к исходной ситуации. Подстановка найденного значения показывает, соблюдаются ли исходные связи, а смысл величин помогает отсеять неподходящий корень. Завершает решение ответ на заданный вопрос с единицами измерения, а не просто запись найденного числа.
| Этап | Что сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Анализ условия | Выделить известные и неизвестные величины, найти связи между ними. | Понять, что именно спрашивается и какие данные относятся к вопросу. |
| Выбор неизвестной | Обозначить подходящую величину буквой и пояснить обозначение. | Выбрать величину, через которую остальные удобно выразить. |
| Выражение остальных величин | Записать нужные величины через неизвестную. | Сохранить смысл отношений и единицы измерения. |
| Составление и решение уравнения | Записать основную связь равенством и найти его корни. | Уравнение должно соответствовать условию; преобразования должны быть допустимыми. |
| Проверка и ответ | Проверить корень в исходных условиях и записать ответ. | Учесть смысл величин и указать единицы измерения. |
Пользуйтесь таблицей как последовательностью действий: переходите к следующему этапу, когда ясно, что получилось на предыдущем. Если уравнение не составляется, вернитесь к анализу условия и проверьте, достаточно ли точно вы обозначили величины и связи. После решения обязательно пройдите последний этап, даже если корень найден без затруднений.
После увеличения числа на 7 получилось 19. Нужно найти исходное число. Обозначим его x: тогда увеличенное число записывается как x + 7, и по условию оно равно 19. Получаем уравнение x + 7 = 19.
Ответ: 12. Проверка здесь короткая, но она подтверждает и решение уравнения, и соответствие результата задаче. Обозначение x помогло сразу связать искомое число с результатом увеличения.
Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 18 км. Их скорости равны 4 км/ч и 5 км/ч. Нужно найти время до встречи, поэтому обозначим его t часов и выразим путь каждого за это время.
Ответ: через 2 часа. В уравнении сложены именно пройденные расстояния, потому что пешеходы движутся навстречу друг другу и к встрече вместе покрывают весь путь. Проверка подтверждает, что их пути составляют исходные 18 км.
Площадь участка равна 48 м², а длина на 2 м больше ширины. Обозначим ширину через x метров, тогда длина равна x + 2 метров. Поскольку площадь прямоугольника — произведение длины на ширину, получаем уравнение x(x + 2) = 48.
Ответ: ширина участка — 6 м, длина — 8 м. Уравнение дало два корня, но смысл задачи позволил выбрать только один. Проверка подтверждает и значение площади, и разницу между сторонами.
Если обозначить неизвестное, не уточнив, какую величину оно представляет, выражения легко перепутать. Так бывает, когда сразу начинают составлять уравнение, не записав значение буквы. Проверьте себя: можете ли вы словами объяснить, что означает каждая буква и в каких единицах измеряется величина?
Перевод отдельных слов в знаки без анализа связей может дать уравнение, которое не описывает ситуацию. Например, отношения «на несколько единиц больше» и «в несколько раз больше» записываются по-разному. Чтобы проверить модель, проговорите, что означает каждое слагаемое и почему обе части равенства должны быть равны.
Иногда ученик находит корень, но не проверяет его в условии. Тогда незамеченным остаётся, например, отрицательное значение длины или результат, который не даёт нужную площадь. Подставьте корень в исходные отношения, а не только в уравнение, и проверьте, имеют ли величины смысл.
Ответ без единиц или с неверным округлением не полностью отвечает на вопрос. Так случается, когда решение заканчивают на вычислении числа и забывают, что измеряли величину в условии. Перед записью ответа сверьте единицы с данными задачи; если требуется округление, делайте его по указанному правилу и сохраняйте разумную точность.
Для решения задач через уравнение нужны навыки действий с числами и буквенными выражениями, а также умение решать простые уравнения. Не менее важно понимать, как связаны величины: например, что путь зависит от скорости и времени, а площадь прямоугольника — от его сторон. Эти знания помогают не только вычислять, но и правильно составлять модель.
Математическое моделирование используется во многих разделах алгебры и в практических задачах. Тот же способ рассуждений пригодится при задачах на движение, работу и проценты, а позднее — при составлении систем уравнений. Меняются величины и связи, но общий ход остаётся прежним: описать условие, решить модель и проверить смысл результата.
Как понять, какую величину выбрать за неизвестную?
Обычно удобно обозначить буквой величину, о которой прямо спрашивают. Но иногда проще выбрать другую величину, если остальные тогда легче выразить через неё. В любом случае заранее запишите, что именно означает выбранная буква.
Как перевести условие задачи в уравнение?
Сначала определите величины и связи между ними, например, что расстояние равно скорости, умноженной на время. Запишите нужные величины выражениями через неизвестную, а затем составьте равенство, которое передаёт основную связь из условия. После решения проверьте, соответствует ли полученное значение исходной ситуации.
Можно ли обозначить неизвестной не ту величину, которую спрашивают?
Да, можно: неизвестной выбирают и такую величину, через которую удобно выразить искомую. Тогда после решения потребуется вычислить ответ на вопрос задачи. Не забудьте указать, что означает буква, и связать её с искомой величиной.
Почему найденный корень может не подходить для задачи?
Уравнение может иметь корень, который не соответствует смыслу величины: например, отрицательную длину или время. Кроме того, некоторые преобразования могут привести к значениям, не подходящим исходному условию. Поэтому корни нужно проверить в задаче, а не только в уравнении.
Зачем проверять ответ после решения уравнения?
Проверка помогает заметить ошибку в вычислениях или в составлении модели. Подставьте найденное значение в исходные связи и убедитесь, что все условия выполняются. Затем сформулируйте ответ именно на вопрос задачи и укажите единицы измерения.
§ 1. Различные задачи
