§ 2. Графическое решение системы уравнений с двумя неизвестными

Определения и обозначения

Система двух уравнений с двумя неизвестными — пара уравнений, которые должны выполняться при одной и той же паре значений неизвестных. Обычно неизвестные обозначают буквами x и y, а систему записывают фигурной скобкой. Это помогает рассматривать два условия одновременно.

Решение системы — пара чисел, при подстановке которой оба уравнения становятся верными равенствами. Пару записывают в порядке (x; y), потому что первое число относится к x, а второе — к y. Найти решение значит подобрать значения, подходящие сразу для двух уравнений.

Графическое решение системы — нахождение её решений по графикам уравнений, изображённых в одной координатной плоскости. Вместо длинных вычислений можно исследовать, где графики встречаются. Такой способ особенно нагляден.

График уравнения с двумя неизвестными — множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Например, каждая точка графика y = 2x − 1 имеет координаты, подходящие этому равенству. По графику можно увидеть все пары чисел, являющиеся решениями одного уравнения.

Как это устроено

Пару чисел (x; y) можно представить точкой на координатной плоскости: первое число задаёт абсциссу, то есть положение по горизонтали, а второе — ординату, положение по вертикали. Поэтому каждому решению уравнения соответствует точка с координатами (x; y). Такая запись связывает вычисления с геометрическим изображением.

Если точка лежит на графике первого уравнения, её координаты удовлетворяют первому условию. Если она одновременно лежит на графике второго, те же координаты удовлетворяют и второму условию. Поэтому общая точка графиков и есть решение системы.

Чтобы решить систему графически, сначала приводят каждое уравнение к удобному виду, часто к виду y = … Затем строят оба графика в одной системе координат, используя таблицу значений или известные точки. После этого отмечают все точки, принадлежащие обоим графикам.

Число решений определяется числом общих точек: одна точка пересечения даёт одно решение, отсутствие пересечений — ни одного. Если два графика полностью совпадают, общих точек бесконечно много, поэтому и решений бесконечно много. Расположение графиков показывает результат ещё до записи координат.

Чертёж не всегда позволяет точно определить координаты, особенно если точка находится между делениями или масштаб крупный. В таком случае ответ с графика считают приближённым и проверяют подстановкой найденных x и y в оба исходных уравнения. Если равенства выполняются с учётом округления, пара выбрана верно.

Взаимное расположение графиков и решения системы

Сначала определите, как расположены графики, затем найдите число их общих точек. В последнем столбце удобно записать итог именно для системы, а не только описание рисунка.

Разбор задач

Задача 1. Решить графически систему x + y = 4, x − y = 0.

Нужно построить два графика и найти их общую точку. Оба уравнения сначала выразим через y, чтобы было проще строить прямые.

1. Из первого уравнения получаем y = 4 − x. Из второго: x − y = 0, значит y = x.
2. Для прямой y = 4 − x можно взять точки (0; 4) и (4; 0). Для прямой y = x удобно взять точки (0; 0) и (2; 2).
3. Проведя обе прямые в одной плоскости, видим точку пересечения (2; 2). Проверка: 2 + 2 = 4 и 2 − 2 = 0.

Ответ: (2; 2).

Задача 2. Решить графически систему y = x + 1, y = −x + 3.

Обе прямые уже записаны через y, поэтому можно сразу составить по несколько точек для каждой. Общая точка должна лежать на обеих прямых.

1. Для y = x + 1 возьмём точки (0; 1) и (2; 3). Для y = −x + 3 возьмём точки (0; 3) и (2; 1).
2. После построения прямые пересекаются в точке (1; 2). Её координаты можно проверить не только по чертежу, но и подстановкой.
3. Получаем: 2 = 1 + 1 и 2 = −1 + 3. Оба равенства верны, значит найденная точка действительно является решением.

Ответ: (1; 2).

Задача 3. Определить число решений системы y = 2x + 1, y = 2x − 2.

Вычерчивать прямые необязательно, потому что их вид уже позволяет сравнить основные характеристики. Нужно понять, смогут ли они встретиться.

1. У обеих прямых угловой коэффициент равен 2, значит они имеют одинаковый наклон и параллельны.
2. Свободные члены различны: 1 и −2. Поэтому это не одна и та же прямая, а две разные параллельные прямые.
3. Разные параллельные прямые общих точек не имеют. Следовательно, ни одна пара (x; y) не удовлетворяет обоим уравнениям одновременно.

Ответ: система не имеет решений.

Типичные ошибки

Иногда решением считают точку, лежащую только на одном графике. Так происходит, если ученик забывает про второе уравнение системы. Проверьте себя: подставьте координаты точки в оба уравнения, а не только в одно.

Графики могут построить в разных координатных плоскостях или с разными масштабами по осям. Тогда их пересечение нельзя определить надёжно, даже если каждая прямая построена правильно. Используйте одну плоскость, общие оси и одинаковые единичные отрезки.

Координаты точки иногда записывают в обратном порядке. Причина ошибки — невнимательность при чтении осей: сначала считывают x по горизонтали, затем y по вертикали. Запомните запись решения как (x; y).

Приближённые координаты с чертежа принимают за точные без проверки. Линия сетки или масштаб могут привести к неточности. Подставьте пару в оба уравнения и при необходимости укажите, что ответ получен приблизительно.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь отмечать точки по координатам, строить графики линейных уравнений и проверять, удовлетворяет ли пара чисел уравнению. Эти навыки составляют основу графического способа.

Позже графический способ пригодится при изучении систем нелинейных уравнений, где графики могут быть кривыми. Его также сравнивают с алгебраическими способами решения, чтобы выбирать наиболее удобный метод.

Что запомнить

• Решение системы — одна и та же пара значений в обоих уравнениях.
• Каждое уравнение системы задаёт свой график.
• Решения системы соответствуют общим точкам графиков.
• Графики пересекаются в одной точке — система имеет одно решение.
• Графики не пересекаются — система не имеет решений.
• Совпадающие графики означают бесконечно много решений.
• Приближённый ответ с графика полезно проверить подстановкой.