§ 6. Приближённое извлечение квадратных корней

Определения и обозначения

Приближённое значение квадратного корня — число, близкое к корню, которое используют вместо него с указанной точностью. Например, √7 ≈ 2,6 означает, что число 2,6 заменяет точное значение корня в вычислениях. Такое значение нужно, когда корень нельзя выразить конечной десятичной дробью.

Приближение с недостатком — число, квадрат которого меньше подкоренного числа. Если x² < a, то x меньше точного значения √a. Так можно понять, что найденная граница расположена слева от корня.

Приближение с избытком — число, квадрат которого больше подкоренного числа. При x² > a число x больше √a и находится справа от него. Сравнение квадратов помогает определить сторону, с которой выполнено приближение.

Точность приближения — допустимая величина ошибки между точным и приближённым значениями. Например, точность до десятых означает, что ошибка не превосходит одной десятой. Чем меньше допустимая ошибка, тем больше цифр после запятой приходится проверять.

Как это устроено

Чтобы найти √a, сначала сравнивают число a с квадратами целых чисел. Если n² < a < (n + 1)², то корень лежит между n и n + 1, потому что функция возведения в квадрат сохраняет порядок для неотрицательных чисел. Например, 25 < 30 < 36, поэтому 5 < √30 < 6.

Целых границ обычно недостаточно, поэтому промежуток уточняют десятичными числами. Проверяют квадраты чисел с одним знаком после запятой, например 2,6² и 2,7². Если один квадрат меньше a, а следующий больше, корень оказался между соответствующими десятичными числами.

Затем проверку продолжают с сотыми и следующими разрядами. Это уменьшает длину промежутка, в котором находится корень, поэтому ошибка результата становится меньше. Так получают, например, границы 4,24 < √18 < 4,25 вместо более широких границ 4,2 < √18 < 4,3.

Квадрат проверяемого числа показывает, с какой стороны оно расположено относительно корня. Если x² < a, то x не достиг корня и является приближением с недостатком; если x² > a, то x перешёл через корень и является приближением с избытком. Без сравнения квадратов сторону приближения определить нельзя.

После получения нужных границ можно записать приближённое значение и округлить его. Для округления до заданного разряда смотрят на цифру сразу после него: она показывает, нужно ли увеличивать последнюю сохраняемую цифру. Найденный промежуток служит дополнительной проверкой: округлённое число должно соответствовать его границам.

Приближённое извлечение квадратного корня

Таблицу удобно использовать как план решения: каждый следующий этап уточняет предыдущий. На последнем шаге обязательно укажите, до какого разряда найден корень. Если требуется, отдельно запишите, является ли приближение недостатком или избытком.

Разбор задач

Задача 1. Найдите, между какими целыми числами находится √30.

Нужно подобрать соседние целые числа, квадраты которых расположены по разные стороны от 30. Начнём с чисел 5 и 6, потому что их квадраты близки к 30. Сравнение квадратов сразу даст нужные границы.

1. Вычислим квадраты: 5² = 25, 6² = 36.
2. Сравним: 25 < 30 < 36.
3. Сделаем вывод: 5 < √30 < 6.

Ответ: √30 находится между 5 и 6.

Задача 2. Найдите приближение √7 до десятых и укажите его сторону.

Сначала определим целые границы: 2² = 4, 3² = 9, значит, корень лежит между 2 и 3. Теперь проверим десятичные числа 2,6 и 2,7, чтобы выбрать число, расположенное ближе к корню с нужной стороны.

1. Вычислим квадраты: 2,6² = 6,76, 2,7² = 7,29.
2. Получим 6,76 < 7 < 7,29, поэтому 2,6 < √7 < 2,7.
3. Число 2,6 имеет один знак после запятой и его квадрат меньше 7, значит, оно является приближением с недостатком.

Ответ: √7 ≈ 2,6 с недостатком.

Задача 3. Найдите приближение √18 до сотых и округлите его до десятых.

Сначала найдём десятичные границы, а затем уточним их до сотых. Такой порядок нужен, потому что цифра сотых определяет округление до десятых.

1. Так как 4² = 16 и 5² = 25, то 4 < √18 < 5.
2. Проверим десятые: 4,2² = 17,64, 4,3² = 18,49. Значит, 4,2 < √18 < 4,3.
3. Проверим сотые: 4,24² = 17,9776, 4,25² = 18,0625. Поэтому 4,24 < √18 < 4,25.
4. До сотых можно записать √18 ≈ 4,24 с недостатком. При округлении до десятых смотрим на цифру сотых: это 4, поэтому десятые не увеличиваются.

Ответ: √18 ≈ 4,24 до сотых; до десятых √18 ≈ 4,2.

Типичные ошибки

Считать, что √a равно ближайшему целому числу. Такая ошибка возникает, когда смотрят на само число, а не на квадраты соседних целых. Проверьте себя неравенством n² < a < (n + 1)².

Сравнивать число с корнем, а не квадраты. Точное значение корня заранее неизвестно, поэтому сравнение «на глаз» ненадёжно. Возведите проверяемые числа в квадрат и сопоставьте результаты с a.

Путать недостаток и избыток. Иногда название выбирают по тому, больше или меньше само приближение, забывая о точном корне. Проверьте квадрат: x² < a означает недостаток, а x² > a — избыток.

Округлять по неправильной цифре. При округлении до десятых смотрят не на цифру десятых, а на следующую, то есть на сотые. Запишите число разрядно и проверьте именно первую цифру, которую отбрасываете.

Связь с другими темами

До изучения темы понадобятся знания квадратов целых чисел, возведения в квадрат и сравнения десятичных дробей. Эти умения позволяют быстро находить границы и проверять каждый шаг вычислений.

Приближённые квадратные корни используются при работе с иррациональными числами, у которых нет конечной десятичной записи. Они также встречаются в геометрии, например при вычислении длины диагонали или стороны по теореме Пифагора.

Что запомнить

• Если n² < a < (n + 1)², то n < √a < n + 1.
• Квадраты проверяемых чисел сравнивают с подкоренным числом.
• Если x² < a, то x — приближение √a с недостатком.
• Если x² > a, то x — приближение √a с избытком.
• Чем больше знаков после запятой проверено, тем точнее границы корня.
• Округляя до заданного разряда, учитывают следующую цифру.