2.2. Односторонние пределы

Определения и обозначения

Предел функции слева — число, к которому приближаются значения f(x), когда x стремится к a через значения, меньшие a. Обозначают это так: lim x→a−0 f(x). Такой предел нужен, чтобы отдельно описать поведение графика на левой стороне от точки.

Предел функции справа — число, к которому приближаются значения f(x), когда x стремится к a через значения, большие a. Его обозначают lim x→a+0 f(x). Это позволяет исследовать ветвь функции, расположенную справа от точки, независимо от левой ветви.

Односторонний предел показывает поведение функции при приближении к точке с одной заданной стороны. Значение f(a) само по себе может быть другим или вовсе не существовать, потому что при вычислении предела рассматривают значения около точки, а не в самой точке. Поэтому предел и значение функции — связанные, но разные понятия.

Бесконечный односторонний предел означает, что значения функции при приближении к a с выбранной стороны неограниченно возрастают или убывают. Записи lim x→a−0 f(x) = +∞ и lim x→a+0 f(x) = −∞ описывают такое поведение, а не приближение к конечному числу. Они помогают обнаружить вертикальную асимптоту или резкое неограниченное изменение функции.

Как это устроено

При приближении к a слева аргумент принимает значения меньше a: например, при a = 3 это могут быть 2,9; 2,99 и 2,999. При движении справа x больше a: 3,1; 3,01 и 3,001. Знак −0 или +0 в обозначении показывает не знак самого предела, а направление, с которого приближается аргумент.

Для существования двустороннего предела обе стороны должны описывать одно и то же стремление функции к одному конечному числу. Если lim x→a−0 f(x) = L и lim x→a+0 f(x) = L, то lim x→a f(x) = L. Если результаты различны, около точки нет единого значения, к которому функция приближалась бы со всех направлений, поэтому двустороннего предела не существует.

Если функция задана разными формулами слева и справа, для каждого одностороннего предела используют только соответствующую ветвь. Например, слева берут формулу, действующую при x < a, а справа — формулу для x ≥ a или x > a. Отдельно заданное значение f(a) не меняет этих вычислений, поскольку оно относится к одной точке, а не к значениям в окрестности.

Бесконечный предел возникает, когда значения функции не приближаются к конечному числу, а превосходят по модулю любое заранее выбранное число. Знак плюс означает неограниченный рост, знак минус — неограниченное убывание. Направление приближения существенно: с одной стороны функция может стремиться к +∞, а с другой — к −∞.

На графике сначала находят точку с абсциссой a, а затем отдельно прослеживают левую и правую ветви при движении к ней. Высота, к которой приближается ветвь, даёт соответствующий односторонний предел; уход вверх или вниз означает бесконечный предел. Закрашенная точка показывает значение функции в a, но не обязана совпадать с высотой, к которой подходит график.

Виды односторонних пределов и их смысл

Сначала определите, с какой стороны приближается x, и выберите соответствующее обозначение. Затем сравните два результата, если требуется найти двусторонний предел. Таблица также помогает отличить стремление к числу от неограниченного роста или убывания.

Знак ± в строке означает, что рассуждение подходит отдельно для левой и правой стороны. Нельзя заменять его одним конкретным направлением без проверки условия задачи. Особенно внимательно нужно читать последнюю строку: равенство пределов является условием существования общего предела.

Разбор задач

Задача 1

Найдём пределы слева и справа функции f(x) = 2x + 1 при x → 3. Линейное выражение непрерывно, поэтому направление приближения не меняет результата. Нужно проверить это подстановкой точки в формулу.

1. Для предела слева подставляем x = 3: lim x→3−0 (2x + 1) = 2 · 3 + 1 = 7.
2. Для предела справа выполняем ту же подстановку: lim x→3+0 (2x + 1) = 2 · 3 + 1 = 7.
3. Полученные значения совпали, значит, двусторонний предел также равен 7.

Ответ: lim x→3−0 f(x) = 7 и lim x→3+0 f(x) = 7. Следовательно, lim x→3 f(x) = 7.

Задача 2

Функция задана формулой f(x) = x + 1 при x < 0 и f(x) = 2 − x при x ≥ 0. Требуется найти пределы при x → 0 и решить, существует ли общий предел. Поскольку слева и справа действуют разные формулы, их нельзя подставлять одновременно.

1. Слева от нуля используем x + 1: lim x→0−0 f(x) = 0 + 1 = 1.
2. Справа от нуля используем 2 − x: lim x→0+0 f(x) = 2 − 0 = 2.
3. Сравниваем результаты: 1 ≠ 2, поэтому двусторонний предел в точке 0 не существует.

Ответ: левый предел равен 1, правый — 2; общего предела нет. Значение f(0) = 2 не устраняет различие между пределами.

Задача 3

Исследуем f(x) = 1/x при x → 0. Здесь нельзя просто подставить ноль, потому что деление на ноль не определено. Нужно отдельно определить знак дроби слева и справа от нуля.

1. При x → 0− числа x отрицательны и по модулю стремятся к нулю, поэтому 1/x становится неограниченно отрицательной: lim x→0−0 1/x = −∞.
2. При x → 0+ числа x положительны и близки к нулю, поэтому 1/x становится неограниченно положительной: lim x→0+0 1/x = +∞.
3. Пределы различаются не только численно: один направлен вниз, другой — вверх, поэтому конечного двустороннего предела нет.

Ответ: слева функция убывает к −∞, справа возрастает к +∞. Прямая x = 0 является вертикальной асимптотой графика.

Типичные ошибки

Считать, что пределы слева и справа всегда равны, ошибочно: разные ветви могут подходить к разным значениям. Так бывает при скачке или другом разрыве функции. Проверяйте себя вычислением обоих односторонних пределов.

Подставлять значения справа при поиске левого предела или наоборот — значит нарушать условие задачи. Ошибка появляется, когда знак −0 или +0 читают невнимательно. Перед вычислением запишите, выполняется x < a или x > a.

Нельзя отождествлять предел с f(a), потому что предел определяется поведением около точки. Значение в точке может быть изменено отдельно или отсутствовать. Сравнивайте f(a) с пределом только после самостоятельного нахождения предела.

Записывать двусторонний предел без проверки односторонних результатов нельзя. При различии левого и правого пределов общего предела нет, даже если значение функции в точке задано. Всегда сначала находите обе стороны, затем делайте вывод.

Связь с другими темами

До изучения односторонних пределов нужно понимать обычный предел функции и смысл приближения аргумента к точке. Односторонний предел уточняет это понятие, ограничивая направление движения x. Поэтому запись с −0 или +0 следует читать как указание стороны.

Односторонние пределы применяют при исследовании разрывов и непрерывности. Если левый и правый пределы совпадают с общим значением функции, функция непрерывна в точке. Различие сторон помогает классифицировать скачок или другой тип разрыва.

Понятие полезно около границ области определения, где функция существует только с одной стороны. Бесконечные односторонние пределы помогают обнаруживать вертикальные асимптоты. Позже эти идеи используются при исследовании графиков и поведения функций.

Что запомнить

• Предел слева рассматривает значения x < a.
• Предел справа рассматривает значения x > a.
• Односторонние пределы могут существовать независимо друг от друга.
• Двусторонний предел существует, если конечные пределы слева и справа равны.
• Значение функции в точке само по себе не определяет односторонний предел.
• Бесконечный предел означает неограниченный рост или убывание функции с заданной стороны.