5.11. Построение графиков функций с применением производных

Определения и обозначения

Критическая точка — внутренняя точка области определения, в которой производная равна нулю или не существует. Такие точки отмечают при исследовании функции, потому что в них может измениться направление движения графика. Но сама по себе критическая точка ещё не является экстремумом.

Экстремум функции — локальный максимум или минимум, то есть значение, которое больше или меньше значений функции в достаточно близких точках. Максимум обычно определяется сменой знака производной с плюса на минус, минимум — с минуса на плюс. Поэтому для проверки экстремума исследуют соседние промежутки.

Выпуклость функции описывает, как меняется наклон касательных к графику. Если f″(x) > 0, наклон касательных возрастает, и график направлен выпуклостью вверх; если f″(x) < 0, наклон убывает, и график направлен выпуклостью вниз. Это помогает понять форму кривой между найденными точками.

Точка перегиба — точка графика, при переходе через которую меняется направление выпуклости. Часто её ищут среди решений уравнения f″(x) = 0 или точек, где вторая производная не существует. Затем обязательно проверяют изменение знака f″ и принадлежность точки графику.

Как это устроено

Знак первой производной показывает изменение значений функции: положительный наклон касательной означает движение графика вверх при увеличении x, а отрицательный — движение вниз. Поэтому на каждом промежутке, где знак f′ постоянен, функция монотонна. Границы таких промежутков получают из области определения, нулей производной и точек, где она не существует.

Для поиска экстремумов область определения разбивают найденными критическими точками. Затем сравнивают знаки f′ слева и справа: переход «+» к «−» даёт максимум, а «−» к «+» — минимум. Если знак не меняется, точка не является экстремумом, даже когда производная в ней равна нулю.

Вторая производная показывает, как меняется сама первая производная, то есть наклон касательных. При f″(x) > 0 наклон увеличивается, при f″(x) < 0 уменьшается, поэтому по знакам f″ определяют участки выпуклости. Смена знака f″ у точки указывает на возможный перегиб, но нужно проверить, что соответствующая точка существует на графике.

Пределы нужны потому, что производная не описывает поведение функции далеко от исследуемых точек или рядом с разрывом. Если при x → a функция неограниченно возрастает по модулю, прямая x = a может быть вертикальной асимптотой; предел при x → ±∞ помогает найти горизонтальную или наклонную асимптоту. Эти сведения задают направление ветвей графика.

Полное построение начинают с области определения и пересечений с осями, затем добавляют интервалы монотонности, экстремумы, выпуклость и перегибы. После этого учитывают пределы и асимптоты. Только объединение всех признаков позволяет провести кривую без противоречий.

Этапы исследования функции для построения графика

Таблица задаёт порядок работы: каждый следующий этап уточняет картину, полученную на предыдущем. В графе «Как определить» записывают конкретные вычисления, а в последней графе — результаты, которые нужно перенести на чертёж.

Разбор задач

1. Функция f(x) = x² − 4

Условие: исследовать функцию и построить её график.

1. Область определения — все действительные числа. Нули находятся из x² − 4 = 0: x = −2 и x = 2, а пересечение с Oy имеет координаты (0; −4).
2. Производная f′(x) = 2x. Она отрицательна при x < 0 и положительна при x > 0, значит, функция убывает на (−∞; 0) и возрастает на (0; +∞).
3. Знак производной меняется с «−» на «+», поэтому в точке x = 0 находится минимум: f(0) = −4.

Ответ: график — парабола с вершиной (0; −4), ветвями вверх и нулями −2 и 2.

2. Функция f(x) = x³ − 3x

Условие: исследовать функцию и построить её график.

1. Находим f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Критические точки: x = −1 и x = 1.
2. Производная положительна на (−∞; −1) и (1; +∞), отрицательна на (−1; 1). Поэтому при x = −1 максимум, а при x = 1 минимум: f(−1) = 2, f(1) = −2.
3. f″(x) = 6x. Вторая производная меняет знак при x = 0, значит, есть перегиб в точке (0; 0). Нули функции: x(x² − 3) = 0, то есть x = −√3, 0, √3.

Ответ: график проходит через найденные точки, возрастает, затем убывает и снова возрастает; точка перегиба — (0; 0).

3. Функция f(x) = (x² + 1) / x

Условие: исследовать функцию и построить её график.

1. Перепишем функцию: f(x) = x + 1/x. Область определения: x ≠ 0. При x → 0 значение 1/x неограниченно, поэтому x = 0 — вертикальная асимптота, а при x → ±∞ f(x) − x → 0, значит, y = x — наклонная асимптота.
2. f′(x) = 1 − 1/x² = (x − 1)(x + 1)/x². Функция возрастает на (−∞; −1) и (1; +∞), убывает на (−1; 0) и (0; 1).
3. В точке x = −1 знак меняется с «+» на «−», поэтому максимум равен f(−1) = −2. В точке x = 1 происходит переход «−» к «+», минимум равен f(1) = 2. Пересечений с Ox нет, поскольку x² + 1 ≠ 0.

Ответ: график имеет две ветви, вертикальную асимптоту x = 0, наклонную асимптоту y = x и экстремумы (−1; −2), (1; 2).

Типичные ошибки

Считать любую критическую точку экстремумом — ошибка, потому что f′ может не менять знак. Такое часто происходит при автоматической подстановке найденного корня; проверяйте знаки производной слева и справа.

Искать только решения f′(x) = 0 тоже недостаточно: производная может не существовать в точке области определения. Проверяйте места с модулем, корнями, дробями и другими особенностями формулы.

Равенство f″(x) = 0 не гарантирует перегиб, поскольку выпуклость может остаться прежней. Составьте знаковую таблицу второй производной по обе стороны кандидата.

Нельзя соединять характерные точки без учёта области определения и пределов. Иначе ветви могут пройти через разрыв или пересечь асимптоту там, где это невозможно; сначала отметьте границы области определения и поведение функции около них.

Связь с другими темами

Для исследования графика нужны правила дифференцирования, смысл производной и её связь с монотонностью функции. Без этих знаний невозможно составить знаковые таблицы и обосновать экстремумы.

Метод применяется при графическом решении уравнений и неравенств, поиске наибольших и наименьших значений, а также при изучении поведения функций. Исследование производных помогает выбрать нужный участок графика и сравнить значения выражений.

Что запомнить

• Если f′(x) > 0 на интервале, функция на нём возрастает.
• Если f′(x) < 0 на интервале, функция на нём убывает.
• Критические точки — кандидаты на экстремумы, а не гарантированные экстремумы.
• Для определения экстремума проверяют смену знака первой производной.
• Знак второй производной помогает исследовать выпуклость.
• Для точки перегиба необходимо изменение направления выпуклости.
• Пределы и область определения важны для правильного построения графика.