"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углублённый уровни", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Логарифмические уравнения и неравенства решают, учитывая не только свойства логарифмов, но и условия, при которых они существуют. Сначала находят область допустимых значений: аргументы должны быть положительными, а основания — положительными и отличными от 1. Затем используют монотонность логарифмической функции и свойства логарифмов. В уравнении логарифмы одного основания позволяют сравнить аргументы; в неравенстве знак зависит от того, больше основание 1 или меньше. В конце оставляют только подходящие значения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором неизвестная входит в аргумент или основание логарифма. Решать его можно только для значений, при которых все логарифмы определены. Это определение подсказывает, почему нельзя начинать с преобразований, не проверив допустимость выражения.
Логарифмическое неравенство — неравенство, содержащее логарифмы с неизвестной. Чтобы сравнить такие выражения, нужно учитывать область допустимых значений и то, возрастает или убывает логарифмическая функция. От этого зависит, сохраняется ли знак неравенства при сравнении аргументов.
Область допустимых значений (ОДЗ) — все значения неизвестной, при которых исходные логарифмы существуют. Каждый аргумент должен быть положительным, а каждое основание — положительным и отличным от 1. ОДЗ помогает не включить в ответ числа, для которых исходное выражение не определено.
Равносильное преобразование — переход к уравнению или неравенству с тем же множеством решений. Для этого преобразование должно сохранять условия исходной задачи, в частности ОДЗ. Если условие применения свойства не выполнено, переход может добавить посторонние решения или удалить подходящие.
Решение начинают с ОДЗ, потому что логарифм определён лишь при положительном аргументе, а основание должно быть положительным и не равным 1. Эти ограничения относятся к исходной записи и сохраняют силу после любых упрощений. Например, преобразование может привести к корню, при котором один из исходных аргументов равен нулю. Такой корень не является решением, даже если удовлетворяет полученному уравнению.
Если два логарифма имеют одинаковое допустимое основание и равны, можно приравнять их аргументы. Причина в том, что при фиксированном основании логарифмическая функция принимает каждое значение только при одном аргументе. Поэтому из logₐ f(x) = logₐ g(x) следует f(x) = g(x), но вместе с этим равенством нужно сохранить условия f(x) > 0 и g(x) > 0.
Похожий переход используют в неравенствах, но учитывают направление изменения функции. При основании a > 1 функция logₐ x возрастает: если один аргумент больше другого, то и логарифм первого больше. При 0 < a < 1 функция убывает, поэтому большему аргументу соответствует меньший логарифм, а знак сравнения аргументов становится противоположным. В обоих случаях аргументы должны оставаться положительными.
Логарифмы с разными основаниями нельзя просто приравнять по аргументам или объединить в один логарифм. Свойства логарифмов произведения и частного относятся к логарифмам с общим основанием, а логарифм суммы не равен сумме логарифмов. Поэтому сначала проверяют допустимость и приводят выражение к подходящему виду; только затем применяют свойство, условия которого выполнены.
Переход к новому основанию помогает переписать логарифм через логарифмы с более удобным основанием: logₐ b = log_c b / log_c a. При этом основания должны быть допустимыми, а знаменатель не должен обращаться в ноль. Если после преобразования удобно ввести новую переменную, решают полученное уравнение или неравенство, затем возвращаются к исходной переменной и проверяют ОДЗ. Такой порядок не позволяет потерять ограничения, появившиеся в начале.
| Преобразование | Условие | Уравнение | Неравенство |
|---|---|---|---|
| Приравнивание аргументов логарифмов одного основания | Одинаковое основание a, a > 0, a ≠ 1; оба аргумента положительны | logₐ f(x) = logₐ g(x) ⇔ f(x) = g(x) | Не применяется как равенство; направление сравнения зависит от основания |
| Сравнение аргументов при основании больше 1 | a > 1; аргументы положительны | — | logₐ f(x) > logₐ g(x) ⇔ f(x) > g(x) |
| Сравнение аргументов при основании от 0 до 1 | 0 < a < 1; аргументы положительны | — | logₐ f(x) > logₐ g(x) ⇔ f(x) < g(x) |
| Использование свойств логарифма произведения, частного и степени | Общее допустимое основание; аргументы логарифмов положительны | logₐ(uv) = logₐu + logₐv; logₐ(u/v) = logₐu − logₐv | Преобразуют выражение, сохраняя ОДЗ и направление неравенства |
| Переход к новому основанию | Основания допустимы; знаменатель формулы перехода не равен нулю | logₐb = log_cb / log_ca | Преобразуют логарифмы к общему основанию с учётом знака множителя |
Сначала проверь условия во втором столбце, затем выбирай преобразование для уравнения или неравенства. В последнем столбце для основания меньше 1 аргументы сравниваются в обратном порядке. Таблица не заменяет ОДЗ: ограничения исходного выражения нужно выписать отдельно.
Запишем условия существования логарифмов: x − 1 > 0 и 5 − x > 0. Отсюда x > 1 и x < 5, поэтому ОДЗ — интервал (1; 5). Без него найденное при преобразовании число могло бы оказаться недопустимым.
Основания одинаковы и равны 2, причём 2 > 0 и 2 ≠ 1. Поэтому равенство логарифмов равносильно равенству аргументов: x − 1 = 5 − x. Решаем линейное уравнение: 2x = 6, откуда x = 3.
Проверим результат по ОДЗ: 1 < 3 < 5. Значит, оба аргумента положительны, а преобразование допустимо. Ответ: x = 3.
Сначала потребуем положительности обоих аргументов: x + 2 > 0 и 2x − 1 > 0. Первое условие даёт x > −2, второе — x > ½. Вместе они дают ОДЗ x > ½.
Основание 3 больше 1, поэтому логарифмическая функция возрастает и знак при сравнении аргументов сохраняется. Получаем x + 2 > 2x − 1. Решая это неравенство, находим x < 3.
Нужно выполнить одновременно результат сравнения и ОДЗ. Пересечение условий x < 3 и x > ½ — интервал (½; 3). Ответ: x ∈ (½; 3).
Найдём ОДЗ отдельно для каждого аргумента: x² − 1 > 0 и 3x + 1 > 0. Первое условие означает x < −1 или x > 1, второе — x > −⅓. Их пересечение — x > 1.
Основание ⅓ лежит между 0 и 1, поэтому функция убывает. При переходе к аргументам знак меняется: x² − 1 ≥ 3x + 1. Переносим всё в одну часть и получаем x² − 3x − 2 ≥ 0.
Корни квадратного трёхчлена равны (3 − √17)/2 и (3 + √17)/2. Поскольку коэффициент при x² положительный, неравенство выполняется вне промежутка между корнями. Пересекаем это множество с ОДЗ x > 1: подходит x ≥ (3 + √17)/2. Ответ: [ (3 + √17)/2; +∞).
Приравнивают аргументы, не проверив основания. Такой шаг допустим только для равных логарифмов с одним и тем же допустимым основанием; иначе логарифмические функции могут быть разными. Перед переходом запиши основания рядом и проверь, что каждое положительно и не равно 1.
В неравенстве с основанием от 0 до 1 оставляют прежний знак. Ошибка возникает, если помнить только правило для возрастающей функции. Проверь основание: при 0 < a < 1 логарифм убывает, значит, знак при сравнении аргументов нужно изменить.
Забывают ОДЗ или не проверяют найденные значения. Тогда в ответ может попасть число, при котором аргумент исходного логарифма равен нулю или отрицателен. Выпиши условия до решения и в конце пересеки с ними все полученные значения.
Применяют свойства логарифмов к сумме или разности либо без проверки условий. Например, logₐ(u + v) не равен logₐu + logₐv; такое заблуждение похоже на правило для произведения. Сверяй каждое преобразование с формулами и проверяй, что аргументы и основание допустимы.
Для решения нужны определение логарифма, условия его существования и свойства логарифмов: без них нельзя составить ОДЗ и выбрать допустимое преобразование. После сравнения аргументов часто приходится решать систему неравенств и пересекать её решение с ОДЗ. Эти приёмы пригодятся в показательных и смешанных уравнениях и неравенствах, где логарифмы сочетаются с другими функциями. Замена переменной помогает упростить повторяющееся выражение, но после решения необходимо вернуться к исходной переменной.
Почему при решении логарифмического уравнения сначала записывают ОДЗ?
Логарифм определён только при положительном аргументе, а основание должно быть положительным и не равным 1. ОДЗ сразу исключает значения, при которых исходное уравнение не имеет смысла.
Когда можно приравнивать аргументы логарифмов?
Когда логарифмы имеют одинаковое допустимое основание и равны друг другу. При таком основании логарифмическая функция взаимно однозначна, поэтому равенство логарифмов равносильно равенству аргументов.
Почему при основании от 0 до 1 знак неравенства меняется?
Логарифмическая функция с основанием от 0 до 1 убывает: большему значению аргумента соответствует меньшее значение логарифма. Поэтому при переходе от сравнения логарифмов к сравнению аргументов знак неравенства меняется на противоположный.
Нужно ли проверять найденные корни после равносильных преобразований?
Если все преобразования были равносильными при учёте ОДЗ, отдельная проверка подстановкой обычно не требуется. Но найденные значения всё равно нужно сопоставить с ОДЗ исходного уравнения и исключить неподходящие.
Можно ли применять свойства логарифмов, если основания разные?
Свойства логарифма произведения, частного и степени применяют внутри логарифмов с одним и тем же допустимым основанием. Если основания различны, выражение сначала приводят к удобному виду, например переходят к новому основанию, проверяя условия.
3.4. О преобразованиях логарифмических уравнений и неравенств
