"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углублённый уровни", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Статистические данные — результаты наблюдений или измерений, которые помогают описывать реальные явления. Чтобы увидеть, какие значения встречаются чаще, набор упорядочивают и представляют в таблице частот или на графике. Частота показывает количество повторений, относительная частота — долю от всех наблюдений. Таблицы удобны для точного подсчёта, а графики позволяют быстро сравнить значения и заметить самое распространённое.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Статистические данные — числовые результаты наблюдений или измерений. Например, это оценки класса или результаты измерения температуры в разные дни. Сырые данные часто повторяются и записаны неупорядоченно, поэтому по ним трудно быстро увидеть общую картину. Их упорядочивают и обобщают, чтобы сравнивать значения и замечать закономерности.
Частота значения — число наблюдений, в которых встретилось это значение. Если результат 2 получен три раза, его частота равна 3. Частота всегда является целым неотрицательным числом и не может превышать общее количество наблюдений. Она нужна, чтобы точно показать, сколько раз появилось каждое значение.
Относительная частота — доля наблюдений с данным значением, то есть отношение частоты к общему числу наблюдений. Если частота равна m, а всего наблюдений n, относительная частота равна m/n. Её можно записать обыкновенной дробью, десятичной дробью или процентом. Такая доля позволяет сравнивать наборы разного размера.
Таблица частот — упорядоченное представление различных значений признака и соответствующих им частот. В ней каждое значение записывают один раз, а рядом указывают число его появлений. Таблица помогает не пересчитывать исходный набор при каждом сравнении. По ней также удобно вычислять относительные частоты и строить график.
Сначала из исходного набора выделяют все различные значения признака, не повторяя одно и то же значение в перечне. Затем эти значения располагают в удобном порядке, обычно по возрастанию, и для каждого подсчитывают количество появлений. Такой порядок нужен, чтобы значения не пропустить и чтобы таблицу было легче читать. Проверка подсчёта помогает убедиться, что ни одно наблюдение не учтено дважды.
Сумма частот равна числу всех наблюдений, потому что каждое наблюдение попадает ровно в одну группу — к тому значению, которое оно показывает. Если сложить количества в группах, получится исходный объём данных. Например, при шести результатах сумма частот должна быть 6. Несовпадение указывает на пропущенное наблюдение, повторный подсчёт или ошибку в записи значений.
Относительную частоту каждого значения находят делением его частоты на общее число наблюдений. При сложении этих долей получается 1: числители дают сумму частот, равную объёму данных, а общий знаменатель как раз равен этому объёму. Если доли записаны в процентах, их сумма составляет 100%. Эта проверка удобна для обнаружения ошибок в вычислениях или округлении.
Таблица частот упрощает сравнение: достаточно посмотреть на числа рядом со значениями, чтобы увидеть, какие встречаются чаще, а какие реже. Наибольшая частота указывает на наиболее распространённое значение среди представленных. Таблица сохраняет точные числа, поэтому подходит, когда важно узнать конкретное количество повторений. Если значений много, предварительная группировка и упорядочивание помогают не потеряться в наборе.
Для графического представления значения помещают на горизонтальную ось, а частоты — на вертикальную. В столбчатом графике каждому значению соответствует столбец, высота которого показывает его частоту. График строят по готовой таблице, поэтому до этого нужно проверить подсчёты и выбрать равномерный масштаб. Таблица удобнее для точных значений, а график — для быстрого сравнения и наглядного обзора; выбор зависит от объёма данных и цели анализа.
| Способ | Что указывают | Как читают | Для чего удобен |
|---|---|---|---|
| Исходный набор данных | Все результаты наблюдений в том порядке, в котором они получены | Каждое число — отдельное наблюдение; повторы видны непосредственно | Для небольшого набора и сохранения исходных результатов |
| Таблица частот | Различные значения и количество появлений каждого | Частоту читают в строке соответствующего значения | Для точного подсчёта и сравнения повторений |
| Таблица относительных частот | Различные значения и доли наблюдений с ними | Долю читают как часть целого или процент | Для сравнения наборов разного объёма |
| Столбчатое представление частот | Значения и соответствующие им частоты в виде столбцов | Сравнивают высоты столбцов по вертикальной шкале | Для наглядного сравнения и быстрого поиска наибольшей частоты |
Выбирайте способ по задаче: исходный список сохраняет все результаты, таблица помогает проверить точные числа, а график делает сравнение наглядным. При чтении таблицы сопоставляйте значение и частоту в одной строке. На графике сначала проверьте подписи осей и масштаб, а затем сравнивайте высоты столбцов.
Для набора результатов 2, 3, 2, 4, 3, 2 составим таблицу значений и частот. Сначала выпишем различные значения в порядке возрастания: 2, 3 и 4. Затем подсчитаем, сколько раз каждое из них встречается в исходном списке, не меняя число наблюдений.
Ответ: таблица содержит значения 2, 3, 4 с частотами соответственно 3, 2, 1. Проверка суммы подтверждает, что учтены все наблюдения. Значение 2 встречается чаще остальных.
Для таблицы частот из предыдущей задачи вычислим относительные частоты и проверим их сумму. Общее число наблюдений равно 6, поэтому именно его будем использовать как знаменатель для каждой доли. Делить нужно не на частоту отдельного значения, иначе доля будет рассчитана относительно неверного целого.
Ответ: относительные частоты равны 1/2, 1/3 и 1/6 для значений 2, 3 и 4 соответственно. Их сумма равна единице, следовательно, доли охватывают весь набор. В процентах это примерно 50%, 33,3% и 16,7%.
По таблице результатов опроса требуется построить графическое представление частот и определить наиболее распространённый ответ. Сначала расположим возможные ответы на горизонтальной оси, а вертикальную ось используем для количества голосов. Для каждого ответа построим столбец высотой, соответствующей его частоте, выбрав шкалу, которая включает наибольшее число.
Ответ: наиболее распространён тот ответ, которому соответствует самый высокий столбец. Числовые данные опроса в условии не приведены, поэтому конкретный ответ определить нельзя. При построении важно сохранить правильное соответствие между названием ответа и высотой его столбца.
Частоту путают с относительной частотой: первую записывают как количество наблюдений, вторую — как долю или процент. Ошибка возникает из-за похожего названия и того, что обе величины описывают одно значение. Проверьте единицы: частота — целое число наблюдений, относительная частота обычно не больше 1 или 100%. Для перехода от частоты к доле разделите её на общее количество.
Если сумма частот не совпадает с объёмом данных, часть наблюдений могла быть пропущена или учтена повторно. Иногда ученик считает только видимые повторы и забывает единичные значения. Пересчитайте исходный список и сравните его длину с суммой частот. При верной таблице каждый результат входит ровно в одну группу, а сумма частот равна числу всех наблюдений.
При вычислении относительной частоты иногда делят частоту значения на саму себя или на частоту другой строки. Обычно это происходит, когда забывают, что доля показывает часть от всего набора. Найдите общее число наблюдений сложением частот и используйте его как знаменатель для каждой строки. Затем проверьте, что сумма полученных долей равна 1.
На графике могут перепутать оси, неверно подписать их или сделать деления неодинаковыми. Тогда график вводит в заблуждение: высота столбца не соответствует указанной частоте или значения трудно сравнить. Подпишите горизонтальную ось значениями, а вертикальную — частотами и единицами шкалы. Проверьте равномерность делений и то, что все столбцы построены по одной шкале.
Для работы с данными нужны навыки упорядочивания чисел, их сравнения и нахождения доли от целого. Эти умения помогают составить таблицу и вычислить относительные частоты без ошибок. Табличное и графическое представление применяют при анализе экспериментов, опросов и статистических исследований. Оно подготавливает к изучению числовых характеристик выборки и анализа распределений, где важно не только перечислить значения, но и описать их свойства.
Чем частота отличается от относительной частоты?
Частота — это число наблюдений с данным значением. Относительная частота — доля таких наблюдений от общего количества; её находят делением частоты на объём данных.
Почему сумма частот должна совпадать с количеством наблюдений?
Каждое наблюдение относится ровно к одному из значений признака. Поэтому при подсчёте частот все наблюдения учитываются один раз, и их сумма равна общему количеству.
Как проверить, правильно ли вычислены относительные частоты?
Разделите каждую частоту на общее число наблюдений и сложите полученные доли. Сумма должна быть равна 1, или 100%, если доли записаны в процентах.
Как выбрать масштаб для графического представления данных?
Подберите деления так, чтобы на вертикальной оси поместилась наибольшая частота, а разница между столбцами оставалась заметной. Деления должны быть равномерными и подписанными одинаково.
Можно ли по графику восстановить исходный набор наблюдений?
Если на графике указаны все значения и их частоты, можно восстановить количество повторений каждого значения. Но порядок, в котором наблюдения были получены, по такому графику определить нельзя.
4.2. Табличное и графическое представление данных
