6. Понятие корня n-й степени

Определения и обозначения

Корень n-й степени из числа a — это число b, для которого bⁿ = a. Показатель n — натуральное число, большее 1. Такое определение связывает корень с обратным действием к возведению в степень и позволяет проверять результат подстановкой.

Показатель корня — число n в записи √[n]{a}. Он показывает, в какую степень нужно возвести результат, чтобы получить подкоренное число. От показателя зависят существование корня и количество действительных значений.

Подкоренное выражение — число или выражение a, записанное под знаком корня. Именно его значение нужно получить после возведения корня в n-ю степень. Подкоренным может быть не только отдельное число, но и, например, выражение x + 3.

Арифметический корень n-й степени — неотрицательный корень из неотрицательного числа; он обозначается √[n]{a}. Например, √[4]{81} = 3, а число −3 является другим корнем уравнения x⁴ = 81, но не арифметическим корнем.

Как это устроено

Возведение в n-ю степень и извлечение корня — взаимно обратные действия. Если bⁿ = a, то b является корнем n-й степени из a; наоборот, найденный корень при возведении в степень должен вернуть подкоренное выражение. Поэтому основной способ проверки равенства с корнем — возвести предполагаемый результат в нужную степень.

Чётность показателя определяет, какие знаки возможны. При чётном n степени положительного и отрицательного чисел неотрицательны, поэтому отрицательное a получить нельзя. При нечётном n знак сохраняется: отрицательное число в нечётной степени остаётся отрицательным, так что корень существует для любого действительного a.

Если n чётно и a положительно, числа b и −b имеют одну и ту же n-ю степень: при каждом попарном умножении знаки компенсируются. Поэтому уравнение xⁿ = a имеет два противоположных корня. Арифметическим называют только b ≥ 0, чтобы запись √[n]{a} обозначала единственное число.

Запись √[n]{a} в действительных числах при чётном n допустима только для a ≥ 0. При нечётном n знак a ограничений не создаёт, хотя термин арифметический корень обычно применяют к неотрицательному подкоренному выражению. Перед вычислением нужно сначала проверить именно это условие.

Связь с уравнением xⁿ = a помогает выбрать полный ответ. При чётном n и a > 0 решения имеют вид x = ±√[n]{a}, при a = 0 решение одно: x = 0, а при a < 0 решений нет. При нечётном n решение единственно и записывается x = √[n]{a}; его знак совпадает со знаком a.

Корень n-й степени при чётном и нечётном показателе

Сначала определите, чётный или нечётный показатель стоит у корня, а затем проверьте знак a. Таблица помогает не смешивать значение арифметического корня с количеством решений соответствующего уравнения. Для отрицательного a при нечётном показателе найденный корень существует, но он не является арифметическим в строгом смысле этого определения.

Разбор задач

Корни третьей степени из −8

Определим, какие из чисел 2, −2 и 0 являются корнями третьей степени из −8.

1. По определению нужно проверить равенство b³ = −8 для каждого числа.
2. Получаем: 2³ = 8, (−2)³ = −8, 0³ = 0.
3. Только число −2 даёт требуемое значение. Показатель 3 нечётный, поэтому отрицательный результат вполне возможен и другого действительного корня нет.

Ответ: −2³? Нет: правильная запись результата — (−2)³ = −8, поэтому −2 — корень третьей степени из −8.

Точные значения корней

Вычислим √[4]{81} и √[3]{−125}, объяснив знак ответа.

1. Так как 81 = 3⁴ и показатель 4 чётный, арифметический корень равен 3, а не −3.
2. Так как 125 = 5³, а показатель 3 нечётный, число −5 в третьей степени даёт −125.
3. Проверяем: 3⁴ = 81 и (−5)³ = −125.

Ответ: √[4]{81} = 3, √[3]{−125} = −5. В первом случае выбран неотрицательный корень, во втором знак сохраняется из-за нечётного показателя.

Решение уравнений

Решим уравнения x⁶ = 64 и x⁵ = −32, указав все действительные корни.

1. В первом уравнении 64 = 2⁶, показатель чётный, поэтому x = 2 или x = −2.
2. Во втором уравнении −32 = (−2)⁵, показатель нечётный, поэтому существует единственное действительное решение x = −2.
3. Подставляем найденные значения: обе шестые степени равны 64, а (−2)⁵ = −32.

Ответ: для x⁶ = 64 получаем x = ±2; для x⁵ = −32 получаем x = −2.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Записывать √[n]{a} отрицательным при чётном n. Так путают арифметический корень с одним из решений уравнения; проверка знака сразу показывает, что под знаком радикала выбирают неотрицательное число.

Ошибка 2. Считать, что корень чётной степени есть из любого отрицательного числа. Причина — механическое применение правила без проверки знака; нужно вспомнить, что чётная степень действительного числа не бывает отрицательной.

Ошибка 3. Писать √[n]{aⁿ} = a всегда. При чётном n знак исходного a теряется, поэтому правильный результат — |a|; при нечётном n он равен самому a.

Ошибка 4. Находить только один корень уравнения xⁿ = a при чётном n и a > 0. После нахождения арифметического корня обязательно добавьте противоположное число и проверьте оба значения возведением в степень.

Связь с другими темами

Для изучения корней нужны натуральные показатели степени, свойства степеней, понимание знака числа и решение простейших уравнений. Эти знания позволяют проверять допустимость корня и находить все решения.

Далее понятие корня используется в степенной функции, преобразованиях выражений с корнями и решении иррациональных уравнений. Оно также связано с расширением понятия степени до рациональных и действительных показателей.

Что запомнить

• Корень n-й степени из a — это число, n-я степень которого равна a.
• Показатель корня n — натуральное число, большее 1.
• При чётном n действительный корень существует только при a ≥ 0.
• При нечётном n действительный корень существует при любом действительном a.
• Арифметический корень всегда неотрицателен.
• При чётном n и a > 0 уравнение xⁿ = a имеет два корня: противоположные числа.
• √[n]{aⁿ} равно a при нечётном n и |a| при чётном n.