§ 81. Множества на плоскости, задаваемые уравнениями и неравенствами

Определения и обозначения

Уравнение с двумя переменными — равенство, которое задаёт условие для пары чисел. Решением называют такую пару, при подстановке которой равенство становится верным. Это определение позволяет проверять, подходит ли конкретная точка, не строя график.

Множество решений уравнения — все точки координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению. Каждая пара чисел соответствует точке, поэтому решения можно изображать геометрически. Такое представление помогает увидеть, какую фигуру описывает условие.

Множество решений неравенства — все точки плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству. В отличие от уравнения, оно обычно задаёт не только линию, но и область. Это нужно учитывать при построении: отметить одну границу недостаточно.

Граница множества — линия, отделяющая точки множества от точек, которые в него не входят. При нестрогом неравенстве граничные точки обычно принадлежат решениям, а при строгом — нет. Понимание границы помогает выбрать сплошную или пунктирную линию на чертеже.

Как это устроено

Уравнение связывается с плоскостью через координаты: каждой точке соответствуют числа x и y. Подставив их в равенство, можно проверить, принадлежит ли точка множеству решений. Если равенство выполняется, точка подходит; если нет, она не входит в искомое множество. Поэтому график уравнения — это не произвольный рисунок, а изображение всех подходящих пар.

Уравнение первой степени с двумя переменными имеет вид ax + by = c, где коэффициенты a и b не равны нулю одновременно. Его можно преобразовать к виду y = kx + m или x = const, а такие равенства задают прямую. Причина в том, что при изменении одной координаты вторая меняется по линейному правилу. Все пары, удовлетворяющие этому правилу, располагаются на одной прямой.

Окружность задаётся условием, что расстояние от точки (x; y) до фиксированного центра (a; b) равно радиусу r. По формуле расстояния это условие записывается как (x − a)² + (y − b)² = r². Равенство требует именно одного заданного расстояния, поэтому его решения лежат на окружности. Точки внутри неё находятся ближе к центру, а снаружи — дальше, значит, они уравнению не удовлетворяют.

Неравенство описывает точки, в которых выражение имеет нужный знак. Если его граница — прямая или окружность, по разные стороны от неё знак обычно различается: непрерывное выражение не меняет знак, не проходя через ноль. Поэтому для выбора нужной области достаточно взять точку вне границы и проверить неравенство подстановкой. Если точка подходит, выбирают содержащую её сторону; если нет — противоположную.

Знаки неравенства определяют, относится ли сама граница к решениям. При строгих знаках < и > равенство на границе не выполняется, поэтому граничные точки исключают. При знаках ≤ и ≥ равенство допускается, и граница входит в множество. На чертеже это различие принято показывать пунктирной линией для исключённой границы и сплошной — для включённой.

Уравнения и неравенства и соответствующие им множества точек

Сначала определите тип записи, затем найдите соответствующую фигуру или область. Для неравенства проверьте сторону с помощью пробной точки, а для уравнения помните, что решения лежат только на графике. Последний столбец помогает правильно обозначить границу.

Разбор задач

Задача 1. Изобразить множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению 2x − y = 1. Нужно понять, является ли множество линией или областью, а затем получить удобную для построения форму. Поскольку задано равенство, ищем только точки, где оно выполняется. Для этого выразим одну переменную через другую.

1. Перенесём слагаемые и получим y = 2x − 1. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом 2 и пересечением оси y в точке −1.
2. Выберем две точки: при x = 0 имеем y = −1, а при x = 1 получаем y = 1. Отметим точки (0; −1) и (1; 1) и проведём через них прямую.
3. Оставим только саму прямую: область по одну или другую её сторону не подходит, потому что её точки в общем случае не удовлетворяют равенству.

Ответ: прямая y = 2x − 1.

Задача 2. Определить, какие из точек (0; 0), (1; 1), (2; 0) принадлежат множеству x + y < 2. Здесь не требуется строить границу, потому что принадлежность каждой точки можно установить прямой подстановкой. Строгий знак означает, что равенство 2 не подходит. Проверим все три пары по очереди.

1. Для (0; 0): 0 + 0 = 0, а 0 < 2. Точка принадлежит множеству.
2. Для (1; 1): 1 + 1 = 2, но 2 < 2 неверно. Точка не принадлежит множеству и лежит на границе.
3. Для (2; 0): 2 + 0 = 2, и строгое неравенство также неверно. Эта точка тоже не входит в решения.

Ответ: принадлежит только точка (0; 0).

Задача 3. Изобразить множество, заданное системой x² + y² ≤ 4 и y ≥ 0. В системе должны одновременно выполняться оба условия, поэтому нужно взять общую часть двух множеств. Первое условие ограничивает расстояние до начала координат, второе оставляет точки не ниже оси x. Проверим также, включены ли границы.

1. Равенство x² + y² = 4 задаёт окружность с центром (0; 0) и радиусом 2. Знак ≤ означает, что подходят точки внутри окружности и на ней, то есть круг.
2. Условие y ≥ 0 задаёт верхнюю полуплоскость вместе с осью x. Его граница включена, поскольку при y = 0 неравенство верно.
3. Оставим общую часть: верхнюю половину круга радиуса 2. Дуга окружности и отрезок оси x от (−2; 0) до (2; 0) входят в множество, поэтому обе границы рисуют сплошными.

Ответ: верхняя полукруглая область радиуса 2 вместе с дугой и диаметром.

Типичные ошибки

Ошибка: считать решением уравнения всю область по одну сторону от его графика. Так происходит, когда уравнение путают с неравенством: равенство выполняется только на графике. Проверьте себя подстановкой точки из предполагаемой области — если равенство не выполняется, точка не является решением.

Ошибка: при изображении неравенства закрашивать только его границу. Обычно граница соответствует равенству, а решений неравенства гораздо больше: они образуют область по одну из сторон. Чтобы исправить рисунок, выберите пробную точку и отметьте всю подходящую полуплоскость или часть плоскости.

Ошибка: не различать строгие и нестрогие знаки. Знак < или > исключает точки, где достигается равенство, а ≤ или ≥ включает их; путаница меняет само множество решений. Подставьте координаты точки с границы: так сразу видно, верно ли исходное неравенство и нужна ли сплошная линия.

Ошибка: выбирать сторону области без проверки знака. Одной формы границы недостаточно, чтобы понять, какая из сторон подходит; это легко перепутать при наклонной прямой. Возьмите точку вне границы, например начало координат, подставьте её в неравенство и проверьте результат.

Связь с другими темами

Для работы с множествами точек нужны координаты на плоскости, подстановка значений переменных и построение графика линейной функции. Геометрический смысл уравнений прямой и окружности помогает распознавать границы, а системы уравнений и неравенств задают общие части соответствующих множеств. Эти способы пригодятся при исследовании областей определения функций и решении задач с несколькими ограничениями. Графическое изображение позволяет увидеть, какие пары чисел удовлетворяют всем условиям сразу.

Что запомнить

• Решение уравнения с двумя переменными — упорядоченная пара чисел.
• Множество решений уравнения изображают точками, координаты которых удовлетворяют равенству.
• Линейное уравнение с двумя переменными задаёт прямую.
• Неравенство обычно задаёт область плоскости, ограниченную графиком соответствующего уравнения.
• Для проверки нужной стороны границы можно подставить координаты пробной точки.
• Строгие неравенства не включают границу, нестрогие — включают.