Unit 6. Series Circuit and Parallel Circuit

Определения и обозначения

Последовательная цепь — соединение элементов один за другим, при котором ток проходит через каждый по единственному пути. Если один элемент разомкнуть, путь прервётся и ток остановится во всей цепи. Это понятие помогает определить, где ток не может разделяться.

Параллельная цепь — соединение, в котором элементы подключены к одной и той же паре узлов и образуют отдельные ветви. Ток может проходить по каждой ветви независимо от остальных. Такое описание нужно, чтобы понять, как разделяется ток и почему ветви можно рассчитывать отдельно.

Эквивалентное сопротивление — сопротивление одного условного резистора, которым можно заменить группу резисторов, не меняя поведения цепи на её выводах. Обозначают его обычно Rобщ или Rэкв. Оно позволяет упростить схему и сначала рассчитать цепь целиком.

Узел — точка соединения трёх или более проводников, в которой ток распределяется по ветвям или складывается из них. Ток, входящий в узел, равен сумме токов, выходящих из него. Узлы помогают увидеть границы параллельных участков и правильно применять правило сложения токов.

Как это устроено

В последовательной цепи заряд не может выбрать другой маршрут: от источника он проходит через первый элемент, затем через следующий и возвращается к источнику. Поэтому за одну и ту же секунду через любое сечение цепи проходит одинаковый заряд. Сила тока, то есть заряд, проходящий за единицу времени, одинакова во всех элементах: I₁ = I₂ = … . Если бы токи различались, заряд накапливался бы между элементами, но в устойчивом режиме этого не происходит.

Источник сообщает зарядам энергию, которая передаётся элементам цепи. Поэтому его напряжение распределяется между последовательно соединёнными элементами, а полное напряжение равно сумме отдельных: Uобщ = U₁ + U₂ + … . Какую долю получит каждый резистор, зависит от сопротивления и общего тока. По закону Ома для отдельного резистора Uᵢ = IRᵢ, так что при одном токе на большем сопротивлении падает большее напряжение.

В последовательном соединении ток проходит через каждое сопротивление одно за другим, поэтому препятствия движению зарядов складываются: Rобщ = R₁ + R₂ + … . При неизменном напряжении источника закон Ома даёт I = U/Rобщ. Значит, если добавить резистор в единственный путь, общее сопротивление возрастёт, а ток уменьшится. Эта связь позволяет предсказать изменение тока, не рассчитывая напряжение на каждом элементе отдельно.

В параллельной цепи начало и конец каждой ветви соединены с одной парой узлов. Потенциал в каждом узле общий для всех подключённых к нему ветвей, поэтому разность потенциалов, то есть напряжение на ветвях, одинакова: U₁ = U₂ = Uобщ. При этом в ветвях могут быть разные сопротивления. По закону Ома ток в ветви с меньшим сопротивлением больше: Iᵢ = U/Rᵢ.

В узле заряд распределяется между несколькими путями, но не исчезает. Поэтому общий ток, поступающий к разветвлению, равен сумме токов ветвей: Iобщ = I₁ + I₂ + … . Параллельное соединение даёт току дополнительные пути, и эквивалентное сопротивление становится меньше: 1/Rобщ = 1/R₁ + 1/R₂ + … . Именно поэтому добавление параллельной ветви при том же напряжении увеличивает общий ток источника.

Сравнение последовательной и параллельной цепей

Сначала определите по схеме, есть ли у тока один путь или несколько: от этого зависит выбор столбца. Затем сравните, какая величина общая для элементов, и примените подходящую формулу сопротивления. Последняя строка помогает предсказать последствия разрыва цепи.

Разбор задач

Последовательное соединение

Условие. К источнику 12 В последовательно подключены резисторы 2 Ом и 4 Ом. Найдите общее сопротивление и силу тока в цепи. Поскольку элементы соединены последовательно, через них идёт один ток, а сопротивления можно сложить.

1. Находим эквивалентное сопротивление: Rобщ = 2 Ом + 4 Ом = 6 Ом. Это сопротивление заменяет оба резистора при расчёте всей цепи.
2. По закону Ома находим ток: I = U/Rобщ = 12 В/6 Ом = 2 А. Такой ток проходит через каждый из двух резисторов.

Ответ: Rобщ = 6 Ом, I = 2 А.

Параллельное соединение

Условие. Резисторы 6 Ом и 3 Ом соединены параллельно с источником 12 В. Найдите напряжение и ток в каждой ветви, а также общий ток. Каждая ветвь подключена к одной паре узлов, поэтому на обеих напряжение источника.

1. Записываем напряжение ветвей: U₁ = U₂ = 12 В. Резисторы различаются, поэтому токи в них нужно рассчитывать отдельно.
2. Находим токи по закону Ома: I₁ = 12 В/6 Ом = 2 А, I₂ = 12 В/3 Ом = 4 А. Ветвь с меньшим сопротивлением пропускает больший ток.
3. Складываем токи в узле: Iобщ = 2 А + 4 А = 6 А. Это ток, который отдаёт источник в разветвлённую цепь.

Ответ: напряжение на каждой ветви 12 В; токи равны 2 А и 4 А; общий ток — 6 А.

Смешанное соединение

Условие. Резисторы 4 Ом и 12 Ом соединены параллельно, а полученная ветвь — последовательно с резистором 2 Ом. Напряжение источника — 18 В. Нужно найти эквивалентное сопротивление и ток через каждый резистор. Сначала заменяем параллельный участок одним сопротивлением, чтобы получить простую последовательную цепь.

1. Находим сопротивление параллельного участка: 1/Rп = 1/4 + 1/12 = 1/3, значит, Rп = 3 Ом. Затем складываем его с последовательным резистором: Rобщ = 3 Ом + 2 Ом = 5 Ом.
2. Находим общий ток: Iобщ = 18 В/5 Ом = 3,6 А. Поскольку резистор 2 Ом стоит последовательно со всем параллельным участком, через него проходит этот ток.
3. Напряжение на резисторе 2 Ом равно 3,6 А · 2 Ом = 7,2 В. На параллельном участке остаётся 18 В − 7,2 В = 10,8 В, и такое напряжение приложено к каждому из двух его резисторов.
4. Рассчитываем токи ветвей: через 4 Ом идёт 10,8 В/4 Ом = 2,7 А, через 12 Ом — 10,8 В/12 Ом = 0,9 А. Их сумма 3,6 А совпадает с общим током, что подтверждает расчёт.

Ответ: Rобщ = 5 Ом; через резистор 2 Ом идёт 3,6 А, через резисторы 4 Ом и 12 Ом — 2,7 А и 0,9 А.

Типичные ошибки

• Ошибка — считать, что в последовательной цепи на каждом элементе одинаковое напряжение. Обычно так рассуждают по аналогии с током, хотя именно ток здесь одинаков, а напряжения складываются. Проверьте себя: сумма найденных падений напряжения должна равняться напряжению источника.

• Ошибка — считать токи во всех параллельных ветвях одинаковыми. Общим для ветвей является напряжение, а ток зависит от сопротивления каждой ветви. Подставьте значения в I = U/R: при одинаковом U ветвь с меньшим R должна иметь больший ток.

• Ошибка — складывать сопротивления параллельных резисторов напрямую. Это правило подходит для последовательного участка; при параллельном складывают обратные величины: 1/Rобщ = 1/R₁ + 1/R₂. Проверьте результат: сопротивление параллельной комбинации должно быть меньше самого маленького из её сопротивлений.

• Ошибка — сразу применять формулы всей цепи к смешанной схеме, не разделив её на участки. Из-за этого легко перепутать общий ток с током отдельной ветви. Сначала выделите последовательные и параллельные части, упростите их по очереди, а затем проверьте сложение токов в узлах и напряжений в последовательном контуре.

Связь с другими темами

Для расчёта цепей нужны закон Ома, обозначения силы тока, напряжения и сопротивления, а также единицы измерения: ампер, вольт и ом. Умение различать последовательные и параллельные участки становится основой для анализа смешанных цепей и электрических схем. Те же принципы помогают описывать бытовые цепи и электрооборудование: например, объяснять, почему отключение одной ветви не всегда прекращает работу остальных.

Что запомнить

• В последовательной цепи через все элементы проходит один и тот же ток.
• Общее напряжение при последовательном соединении равно сумме напряжений на элементах.
• Эквивалентное сопротивление последовательных резисторов равно сумме их сопротивлений.
• В параллельных ветвях напряжение одинаково.
• Общий ток в параллельной цепи равен сумме токов ветвей.
• Для параллельных резисторов складываются обратные величины сопротивлений.