§ 11. Определение расстояний до тел Солнечной системы и размеров этих небесных тел

Определения и обозначения

Астрономическая единица — среднее расстояние от Земли до Солнца, обозначаемое а. е. Она служит удобной основной единицей для расстояний внутри Солнечной системы, где километровые значения получаются очень большими.

Горизонтальный параллакс — угол, под которым с поверхности небесного тела виден экваториальный радиус Земли. По величине этого угла определяют расстояние: чем меньше параллакс, тем дальше находится тело.

Радиолокационный метод — определение расстояния по времени прохождения радиосигнала до небесного тела и обратно. Метод даёт непосредственное расстояние, если сигнал отражается от поверхности и время его движения удаётся точно измерить.

Угловой диаметр — угол, под которым с Земли виден настоящий диаметр небесного тела. Вместе с расстоянием он позволяет перейти от видимого углового размера к линейному диаметру тела.

Как это устроено

Расстояния внутри Солнечной системы удобно выражать в астрономических единицах, потому что орбиты планет имеют общий естественный масштаб — расстояние Земля—Солнце. Запись вроде 0,7 а. е. сразу показывает положение тела относительно земной орбиты и короче записи в миллионах километров. В километрах 1 а. е. приблизительно равна 1,496·10⁸ км.

Геометрический параллакс возникает, когда одно тело наблюдают из разных точек Земли. Направление на далёкую планету относительно звёзд немного меняется, потому что наблюдатель перемещается примерно на величину радиуса Земли. При увеличении расстояния тот же базовый отрезок стягивает меньший угол, поэтому параллакс уменьшается.

Если p — горизонтальный параллакс, R Земли — радиус Земли, а r — расстояние до тела, геометрия треугольника даёт sin p = R Земли/r. Отсюда расстояние можно найти как r = R Земли/sin p. Для малого угла в радианах sin p ≈ p, поэтому используют более простую формулу r ≈ R Земли/p.

Радиолокация позволяет измерять расстояние непосредственно: передатчик посылает радиосигнал, сигнал отражается от тела, а приёмник фиксирует момент возвращения. Если за время t радиоволна проходит путь туда и обратно, весь путь равен ct. Поэтому расстояние в один конец равно r = ct/2, где c — скорость света.

Связь размера с угловым диаметром следует из геометрии треугольника: половина тела видна под углом α/2, поэтому D = 2r tg(α/2). Для очень малого угла tg(α/2) ≈ α/2, и формула упрощается до D ≈ rα. В этой записи α обязательно выражают в радианах, а расстояние и диаметр — в одинаковых единицах.

Методы определения расстояний и размеров тел Солнечной системы

Сначала определите, что требуется найти: расстояние или размер. Затем выберите строку таблицы и проверьте, какие величины уже известны.

Особенно внимательно следите за единицами: время должно быть в секундах, скорость — в метрах в секунду, а малые углы — в радианах. Таблица также помогает сопоставить разные методы и понять, какой из них может проверить результат.

Разбор задач

1. Расстояние по радиолокационному сигналу

Радиосигнал вернулся через t = 1000 с, его скорость c = 3·10⁸ м/с. Нужно найти расстояние до планеты, а не полный путь сигнала. Поэтому результат разделим на два.

1. Вычислим полный путь: ct = 3·10⁸ · 1000 = 3·10¹¹ м.
2. Учтём движение туда и обратно: r = ct/2 = 3·10¹¹/2 = 1,5·10¹¹ м.
3. При необходимости переведём в километры: 1,5·10¹¹ м = 1,5·10⁸ км.

Ответ: расстояние до планеты равно 1,5·10¹¹ м, или 1,5·10⁸ км. Деление на два обязательно, потому что прибор измерил время двойного пути.

2. Расстояние по горизонтальному параллаксу

Пусть p = 1°, требуется найти расстояние в радиусах Земли. Так как используется приближение sin p ≈ p, угол сначала переводим в радианы. В единицах радиуса Земли формула принимает вид r/R Земли ≈ 1/p.

1. Переведём угол: p = 1° · π/180 ≈ 0,01745 рад.
2. Подставим в соотношение: r ≈ R Земли/0,01745.
3. Сократим на R Земли: r/R Земли ≈ 57,3.

Ответ: расстояние примерно равно 57,3 радиуса Земли. Малый угол выбран в радианах, поэтому приближение применено правильно.

3. Диаметр планеты по угловому размеру

Расстояние до планеты r = 0,7 а. е., угловой диаметр α = 0,01°. Нужно получить диаметр в километрах. Используем D ≈ rα и сначала выразим расстояние в километрах.

1. Переведём расстояние: r = 0,7 · 1,496·10⁸ ≈ 1,0472·10⁸ км.
2. Переведём угол: α = 0,01° · π/180 ≈ 1,745·10⁻⁴ рад.
3. Умножим: D ≈ 1,0472·10⁸ · 1,745·10⁻⁴ ≈ 1,83·10⁴ км.

Ответ: диаметр планеты приблизительно равен 18 300 км. Единицы согласованы: расстояние взято в километрах, а угол — в радианах.

Типичные ошибки

Ошибка: использовать в радиолокации r = ct. Так получают весь путь сигнала туда и обратно, поэтому ответ оказывается вдвое больше. Проверьте себя вопросом: сигнал прошёл один путь или два?

Ошибка: подставлять градусы в формулу D ≈ rα. Приближение для малого угла основано на радианной мере, поэтому 0,01° сначала нужно умножить на π/180. Быстрая проверка — убедиться, что после перевода угол стал числом меньше единицы.

Ошибка: путать горизонтальный параллакс с угловым диаметром. Параллакс меняется из-за положения наблюдателя и связан с расстоянием, а угловой диаметр описывает видимый размер самого тела. Спросите себя, измеряете ли вы смещение направления или ширину диска.

Ошибка: считать астрономическую единицу постоянным расстоянием между Землёй и Солнцем в любой момент. На самом деле это среднее значение, поскольку орбита Земли не является идеальной окружностью. В задачах используйте 1 а. е. ≈ 1,496·10⁸ км и учитывайте смысл слова среднее.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны единицы длины, перевод градусов в радианы, приближения sin α ≈ tg α ≈ α для малых углов и представление о прямолинейном распространении света. Без этого легко получить неверный масштаб результата.

Законы Кеплера и строение Солнечной системы помогают сравнивать относительные расстояния планет. Благодаря этому понятно, почему для межпланетных расстояний удобнее астрономические единицы.

Параллакс и радиолокация связаны с дальнейшими способами измерения расстояний до звёзд, астероидов и космических аппаратов. Один метод может проверять результат, полученный другим.

Что запомнить

• Астрономическая единица — среднее расстояние от Земли до Солнца.
• Чем дальше небесное тело, тем меньше его горизонтальный параллакс.
• Расстояние по радиолокации находят по формуле r = ct/2.
• Величину малого угла в приближённых формулах выражают в радианах.
• Линейный размер тела определяется по его расстоянию и угловому диаметру.
• Для малых углов справедливо приближение D ≈ rα.
• Один метод измерения может служить проверкой результата, полученного другим методом.