§ 12. Законы движения планет Солнечной системы

Определения и обозначения

Закон эллипсов утверждает, что планеты движутся по эллиптическим орбитам, а Солнце находится в одном из фокусов. Эллипс похож на вытянутую окружность, поэтому расстояние от планеты до Солнца меняется. Закон нужен, чтобы правильно описывать форму орбиты и положение Солнца на ней.

Фокус эллипса — одна из двух особых точек, определяющих его форму и степень вытянутости. Для орбиты планеты один фокус занимает Солнце, а второй остаётся свободным. Это понятие объясняет, почему Солнце не обязано находиться в геометрическом центре орбиты.

Закон площадей гласит: радиус-вектор планеты за равные промежутки времени заметает равные площади. Радиус-вектором называют отрезок от Солнца до планеты. Закон позволяет понять, почему планета движется по орбите неравномерно.

Третий закон Кеплера: квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит: T₁²/T₂² = a₁³/a₂³. Период T — время одного полного обращения, а большая полуось a характеризует размер эллипса. С помощью закона можно сравнивать орбиты планет и находить неизвестный период или размер орбиты.

Как это устроено

Орбита планеты становится эллипсом потому, что планета движется под действием притяжения Солнца, а её начальная скорость направлена не прямо к нему. Сочетание притяжения и движения вперёд не даёт планете упасть на Солнце или удалиться по прямой. В результате получается замкнутая вытянутая траектория, в одном из фокусов которой расположено притягивающее тело — Солнце.

Расстояние до Солнца на эллиптической орбите меняется, поэтому меняется и скорость планеты. Когда планета приближается к Солнцу и проходит перигелий, притяжение сильнее, и её движение ускоряется. У афелия расстояние больше, притяжение слабее, поэтому планета движется медленнее. Изменение скорости сохраняет общий характер орбитального движения, а не нарушает его.

Равные площади за равное время означают не равные пройденные расстояния, а равные площади с вершиной в Солнце. На близком участке короткий радиус-вектор образует нужную площадь только при большем перемещении планеты. На далёком участке радиус длиннее, поэтому такую же площадь можно заметить меньшим перемещением. Следовательно, скорость ближе к Солнцу больше, а дальше от него меньше.

Третий закон показывает, что крупная орбита требует большего времени для полного обращения. Для планет, обращающихся вокруг Солнца, отношение квадрата периода к кубу большой полуоси постоянно: T²/a³ = const. Это связано с тем, что на больших расстояниях планета движется медленнее, а путь по орбите обычно длиннее. Поэтому периоды нельзя сравнивать с большими полуосями напрямую: действует зависимость степеней 2 и 3.

Законы Кеплера позволяют изучать планеты по общим правилам, не выводя заново свойства каждой орбиты. Зная период одной планеты, можно сравнить с земным периодом размер её орбиты. По равенству площадей можно определить, где планета движется быстрее. Так законы связывают форму орбиты, скорость движения и время обращения в единую систему.

Три закона движения планет

Сначала определите, какую характеристику нужно найти: форму, скорость или размер орбиты. Затем выберите соответствующий закон и проверьте, что сравниваемые величины выражены в согласованных единицах. Для вычислений между двумя планетами особенно удобна относительная форма третьего закона.

Разбор задач

Задача 1. Период обращения планеты равен 8 годам. Найдём отношение большой полуоси её орбиты к большой полуоси земной орбиты. Обозначим искомое отношение как a/a₀, где для Земли T₀ = 1 год.

1. Запишем относительную форму третьего закона: a/a₀ = (T/T₀)²⁄³.
2. Подставим значения: a/a₀ = (8/1)²⁄³ = 8²⁄³ = 4, поскольку 8 = 2³.
3. Сделаем вывод: орбита планеты имеет большую полуось, в 4 раза превышающую земную.

Ответ: 4.

Задача 2. За равные промежутки времени планета заметает на разных участках площади 12 и 12 млн км². Средние расстояния от Солнца на этих участках сравним по закону площадей. Равенство площадей означает равенство соответствующих временных интервалов, но не одинаковую скорость.

1. Поскольку площади равны и времена равны, участок с меньшим расстоянием до Солнца должен проходиться быстрее.
2. На удалённом участке радиус-вектор длиннее, поэтому для заметания той же площади достаточно меньшего перемещения.
3. Следовательно, среднее расстояние меньше там, где планета движется быстрее; это участок около перигелия. На более далёком участке, около афелия, скорость меньше.

Ответ: на быстром участке среднее расстояние меньше, на медленном — больше; скорость больше ближе к Солнцу.

Задача 3. Период обращения планеты равен 27 годам. Определим большую полуось в астрономических единицах, приняв для Земли T₀ = 1 год и a₀ = 1 а.е. Используем земную орбиту как эталон, поэтому отдельная гравитационная постоянная не требуется.

1. Запишем формулу: a/a₀ = (T/T₀)²⁄³.
2. Подставим значения: a/1 = 27²⁄³. Так как 27 = 3³, получаем 27²⁄³ = 3² = 9.
3. Учитывая a₀ = 1 а.е., получаем a = 9 а.е.

Ответ: большая полуось орбиты равна 9 а.е.

Типичные ошибки

Считать Солнце центром эллипса. Ошибка возникает из-за привычного изображения окружности. Проверьте себя: в первом законе сказано «в одном из фокусов», а не «в центре».

Думать, что скорость постоянна. Так происходит, если не учитывать закон площадей. Проверьте, где находится планета: у перигелия она быстрее, у афелия медленнее.

Сравнивать периоды и полуоси прямо пропорционально. Период не растёт в той же пропорции, что и размер орбиты. Запишите T²/a³ = const и только затем преобразуйте формулу.

Использовать несогласованные единицы. Например, нельзя без проверки смешивать дни и годы или километры и астрономические единицы. Переведите величины в общие единицы либо примените относительную форму закона с одинаковыми единицами в числителе и знаменателе.

Связь с другими темами

Для понимания законов Кеплера нужны знания об эллипсе, его фокусах и большой полуоси, а также умение работать с отношениями и степенями. Эти законы подготавливают изучение закона всемирного тяготения: он объясняет причины движения, которое Кеплер описал математически. Те же идеи применяются к движению искусственных спутников и расчёту орбит небесных тел, если выбрать главное притягивающее тело.

Что запомнить

• Орбита планеты — эллипс, а Солнце находится в одном из его фокусов.
• За равные промежутки времени радиус-вектор планеты заметает равные площади.
• Планета движется быстрее ближе к Солнцу и медленнее дальше от него.
• Квадраты периодов обращения относятся как кубы больших полуосей орбит.
• Законы Кеплера описывают движение планет вокруг Солнца.