"Астрономия", Галузо И.В., Голубев В.А., Шимбалев А.А.
Космический аппарат движется вокруг планеты потому, что сила тяготения непрерывно искривляет его путь. При достаточной горизонтальной скорости он не падает на поверхность, а обращается по орбите. Чтобы рассчитать такой полёт, используют первую космическую скорость; чтобы уйти от планеты — вторую. Для выхода из Солнечной системы нужна третья. Изменяя скорость и направление аппарата, можно менять его траекторию, а пролёты рядом с планетами помогают разгоняться без включения двигателя.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Искусственный спутник Земли — космический аппарат, который движется вокруг Земли под действием её притяжения. Он не падает на поверхность, потому что движется вбок: пока аппарат снижается, поверхность из-за кривизны Земли уходит от него. Так возникает орбита — непрерывное падение мимо планеты.
Первая космическая скорость — минимальная скорость для круговой орбиты у поверхности планеты, если не учитывать атмосферное сопротивление. Она зависит от массы M и радиуса R планеты: v₁ = √(GM/R), где G — гравитационная постоянная. По этой формуле можно сравнивать условия движения у разных небесных тел.
Вторая космическая скорость — минимальная скорость, чтобы преодолеть притяжение планеты и удалиться на бесконечность, остановившись там. Её называют скоростью убегания: при меньшей начальной скорости аппарат остаётся гравитационно связанным с планетой. У поверхности v₂ = √(2GM/R).
Третья космическая скорость — минимальная скорость старта с Земли, позволяющая покинуть Солнечную систему. Она зависит не только от притяжения Солнца, но и от того, что Земля уже движется по своей орбите. Поэтому третья скорость не равна просто скорости ухода от Земли.
На спутник действует сила тяготения, направленная к центру Земли, поэтому его скорость постоянно меняет направление. Если бы притяжения не было, аппарат летел бы прямо; если бы не было горизонтальной скорости, он падал бы вниз. Сочетание этих двух условий даёт движение по орбите: аппарат всё время падает, но из-за кривизны Земли не достигает поверхности.
Для круговой орбиты сила тяготения служит центростремительной силой — именно она заставляет аппарат поворачивать. Приравняем GMm/r² и mv²/r, где m — масса аппарата, а r — расстояние от центра планеты. Масса аппарата сокращается, и получается v = √(GM/r). У поверхности r = R, поэтому первая космическая скорость равна √(GM/R); на большей высоте скорость круговой орбиты меньше.
Чтобы уйти от планеты, аппарату нужно получить достаточно энергии для преодоления её притяжения. По закону сохранения механической энергии сумма кинетической и гравитационной потенциальной энергий остаётся постоянной. Для кругового движения скорость равна √(GM/r), а для ухода с того же расстояния нужна √(2GM/r): вторая скорость больше в √2 раза. Первая задаёт замкнутую круговую орбиту, а вторая — границу, после которой аппарат может удаляться без возвращения.
Изменение скорости или её направления меняет форму орбиты: аппарат может перейти на другую круговую орбиту, эллиптическую траекторию или путь ухода. Если скорость выше первой, но ниже второй у поверхности, движение в идеализированном случае может быть эллиптическим. Для дальних полётов двигатель включают не обязательно непрерывно: разгонные ступени последовательно сообщают аппарату скорость, а траекторию строят из нескольких участков. Так топливо расходуется эффективнее, чем при попытке сразу разогнать аппарат до конечной скорости.
Гравитационный манёвр — пролёт аппарата рядом с планетой, при котором её притяжение меняет скорость и направление его движения. Относительно планеты аппарат обычно входит в область пролёта и выходит из неё с той же скоростью, но относительно Солнца его скорость может измениться. Причина в том, что планета сама движется по орбите и обменивается с аппаратом энергией и импульсом. Такой манёвр позволяет ускорить аппарат или изменить его курс без дополнительной работы двигателя.
| Скорость | Что позволяет сделать | От чего зависит | Формула или ориентировочное значение |
|---|---|---|---|
| Первая космическая | Двигаться по круговой орбите у поверхности | Масса и радиус планеты | √(GM/R); Земля — около 7,9 км/с |
| Вторая космическая | Уйти от планеты | Масса и расстояние до центра планеты | √(2GM/R); Земля — около 11,2 км/с |
| Третья космическая | Покинуть Солнечную систему, стартуя с Земли | Притяжение Солнца и движение Земли | Около 16,7 км/с при идеализированном старте |
| Круговая орбитальная скорость на высоте h | Двигаться по круговой орбите на высоте h | Масса планеты и r = R + h | √(GM/(R + h)) |
| Скорость ухода с планеты | Преодолеть притяжение с данного расстояния | Масса планеты и расстояние r | √(2GM/r) |
Для расчётов сначала определите, какая именно скорость требуется: орбитальная или скорость ухода. Затем найдите расстояние от центра планеты; если дана высота h, прибавьте радиус планеты R. Значения для Земли приблизительны и относятся к идеализированным условиям без сопротивления атмосферы и потерь на разгон.
Нужно найти скорость у поверхности планеты, если известны её масса M и радиус R. Сопротивлением атмосферы пренебрегаем, а орбиту считаем круговой. Искомая скорость должна обеспечить центростремительное ускорение за счёт притяжения планеты.
Масса аппарата на результат не влияет: более тяжёлый спутник притягивается сильнее, но ему же требуется больше силы для поворота. Подставлять нужно массу планеты и её радиус в согласованных единицах. Ответ: первая космическая скорость равна √(GM/R).
Аппарат движется по круговой орбите на высоте h над планетой радиуса R и массы M. Требуется определить его орбитальную скорость. Высота отсчитывается от поверхности, а закон тяготения использует расстояние до центра планеты.
Проверка смысла ответа: при h = 0 формула переходит в формулу скорости у поверхности, а при увеличении h скорость должна уменьшаться. Нельзя подставлять h вместо r, иначе расстояние до центра планеты окажется занижено. Ответ: v = √(GM/(R + h)).
Пусть аппарат стартует у поверхности планеты со скоростью v; нужно понять, останется ли он на орбите, вернётся или покинет планету. Для ответа сравниваем заданную скорость с первой и второй космическими. Считаем, что атмосфера и потери при старте не учитываются.
Сравнивать надо скорости в одинаковых единицах и для одного и того же небесного тела. В реальном запуске сопротивление атмосферы и работа двигателя меняют результат, поэтому одних идеальных порогов недостаточно для расчёта миссии. Ответ: исход определяют сравнением v с v₁ и v₂.
Ошибка — считать, что спутник не испытывает притяжения. Такое представление возникает потому, что аппарат не приближается к поверхности, но именно гравитация непрерывно искривляет его путь и создаёт центростремительное ускорение. Проверьте себя: в формуле кругового движения сила тяготения должна равняться mv²/r. Если убрать притяжение, спутник полетит по прямой, а не по орбите.
Ошибка — подставлять в формулу высоту орбиты вместо расстояния до центра планеты. Высоту h часто принимают за «радиус орбиты», потому что оба числа описывают положение аппарата. Но расстояние от центра равно r = R + h. Проверьте расчёт: при нулевой высоте расстояние должно быть равно радиусу планеты, а не нулю.
Ошибка — смешивать первую и вторую космические скорости. Их названия похожи, но первая нужна для круговой орбиты, а вторая — для ухода от планеты. Путаница появляется, если обе скорости воспринимать просто как «скорость запуска». Проверьте цель движения: замкнутая круговая орбита требует √(GM/r), уход — √(2GM/r).
Ошибка — считать космические скорости одинаковыми для всех планет. Земные значения запоминают чаще остальных, но гравитационное притяжение зависит от массы небесного тела и расстояния до его центра. Поэтому один и тот же аппарат на разных планетах будет иметь разные пороговые скорости. Проверка проста: подставьте M и R конкретной планеты в v₁ = √(GM/R), а для другой высоты используйте r = R + h.
Для понимания орбит нужны закон всемирного тяготения, второй закон Ньютона и формула центростремительного ускорения. Их объединение показывает, почему притяжение планеты удерживает спутник на орбите и позволяет вычислить его скорость. Без этих связей первая космическая скорость выглядела бы как готовое число, а не как следствие законов механики.
При выводе скорости ухода используется закон сохранения механической энергии: кинетическая энергия аппарата превращается в гравитационную потенциальную. Эти знания пригодятся при изучении движения планет и межпланетных перелётов. Они также помогают понять, почему траектории исследовательских аппаратов строят с учётом орбит планет и гравитационных манёвров.
Почему спутник не падает на Землю?
Он постоянно падает к Земле под действием притяжения, но имеет достаточную скорость вбок. Пока аппарат падает, поверхность планеты из-за её кривизны уходит вниз, поэтому спутник всё время проходит мимо неё и остаётся на орбите.
Как высота орбиты влияет на скорость спутника?
Чем дальше спутник от центра планеты, тем меньшая скорость нужна ему для круговой орбиты: v = √(GM/r). Здесь r — расстояние от центра планеты до аппарата, то есть радиус планеты плюс высота орбиты.
Чем первая космическая скорость отличается от второй?
Первая космическая скорость нужна для кругового движения у поверхности планеты. Вторая — минимальная скорость, позволяющая преодолеть притяжение планеты и удалиться от неё на бесконечность; у одного и того же расстояния она в √2 раза больше первой.
Можно ли покинуть планету, не развив вторую космическую скорость у её поверхности?
Да. Аппарат может получить нужную энергию постепенно: например, разгоняться двигателем на нескольких участках пути или использовать гравитационные манёвры. Поэтому необязательно сообщать ему всю скорость ухода одним стартовым импульсом у поверхности.
Как планета может разогнать космический аппарат без работы его двигателя?
При пролёте планета притягивает аппарат и меняет его скорость и направление относительно себя. В системе отсчёта Солнца аппарат может получить часть орбитальной энергии планеты; сама планета при этом теряет ничтожную долю своей энергии движения.
§ 11. Движение космических аппаратов
