функции

Определения и обозначения

Функция — зависимость, при которой каждому допустимому значению x соответствует единственное значение y. Иначе говоря, есть входное число и правило, по которому получается только один результат. Это понятие нужно, чтобы точно описывать зависимости между величинами.

Аргумент — независимая переменная x, значение которой подставляют в правило функции. Его можно представить как исходное число, с которого начинается вычисление. Зная аргумент, мы можем применить правило и найти результат.

Значение функции — результат y, полученный для выбранного значения аргумента; его записывают как f(x). Например, запись f(3) означает результат для аргумента x = 3. Такое обозначение помогает отличать исходное значение от полученного результата.

Область определения и область значений — соответственно все допустимые значения x и все получаемые значения y. Область определения показывает, какие числа разрешено подставлять, а область значений — какие результаты могут появиться. Эти множества помогают полностью описать функцию.

Как это устроено

Зависимость называют функцией только тогда, когда одному аргументу соответствует ровно одно значение. Если для одного x получаются два разных результата, правило не даёт однозначного ответа. А одинаковый результат для разных аргументов допустим: например, у функции y = x² числа −2 и 2 дают одно и то же значение 4.

Функцию задаёт правило соответствия между аргументом и результатом. Это правило можно записать формулой, перечислить в таблице, показать графиком или описать словами, потому что все способы передают одну и ту же зависимость. Формула удобна для вычислений, таблица — для конкретных пар, график — для наглядного анализа, а словесное описание — для жизненных ситуаций.

Чтобы найти значение функции по формуле, вместо x подставляют заданное число и выполняют действия. Например, при f(x) = 2x − 3 получаем f(4) = 2 · 4 − 3 = 5. Если известно значение функции и требуется найти аргумент, составляют уравнение: 2x − 3 = 5, откуда x = 4.

Область определения устанавливают по самой формуле до вычислений. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому такие x исключают; подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным. Если в формуле y = √(x − 2)⁄(x + 1), нужно одновременно выполнить x − 2 ≥ 0 и x + 1 ≠ 0.

График функции состоит из всех точек с координатами (x; f(x)), где x принадлежит области определения. По горизонтали на координатной плоскости читают аргументы, а по вертикали — значения функции. Проекция графика на ось x даёт область определения, проекция на ось y — область значений; при известном x ищут соответствующую высоту точки.

Способы задания и основные характеристики функции

Таблица помогает выбрать удобный способ работы с одной и той же функцией. Для вычислений обычно используют формулу, для точечных значений — таблицу, а для промежутков и взаимного расположения — график. Проверяя область определения, сначала смотрите на допустимые x, а затем анализируйте получаемые y.

Разбор задач

Задача 1. Формула, таблица и график

Условие: для функции f(x) = 2x − 3 найти f(4), заполнить несколько строк таблицы и отметить соответствующие точки на координатной плоскости.

1. Подставим x = 4: f(4) = 2 · 4 − 3 = 5.
2. Выберем, например, x = −1, 0, 2 и 4. Получим значения −5, −3, 1 и 5, то есть точки (−1; −5), (0; −3), (2; 1), (4; 5).
3. Нанесём эти точки на координатную плоскость. Они лежат на одной прямой, потому что формула задаёт линейную зависимость.

Ответ: f(4) = 5; таблица содержит пары (−1; −5), (0; −3), (2; 1), (4; 5), а на графике отмечаются соответствующие точки.

Задача 2. Область определения

Условие: найти область определения функции y = √(x − 2)⁄(x + 1).

1. Для корня требуется x − 2 ≥ 0, значит, x ≥ 2.
2. Знаменатель не должен обращаться в ноль: x + 1 ≠ 0, то есть x ≠ −1.
3. Объединяем условия. Число −1 уже не входит в промежуток x ≥ 2, поэтому дополнительного исключения внутри него нет.

Ответ: область определения — [2; +∞).

Задача 3. Чтение графика

Условие: по графику определить область определения, область значений, значения функции при заданных x и значения x, при которых y = 0.

1. Сначала отмечаем все точки графика и смотрим, какие значения покрывает его проекция на ось x. Это область определения.
2. Затем рассматриваем проекцию на ось y — получаем область значений. Для заданного x проводим вертикаль до графика и считываем координату y.
3. Чтобы найти x при y = 0, ищем точки пересечения графика с осью x и считываем их абсциссы.

Ответ: характеристики определяют по соответствующим проекциям и координатам точек; пересечения с осью x дают нули функции.

Типичные ошибки

Путают аргумент и значение функции: считают x результатом, хотя x — входное значение, а f(x) — результат. Такая ошибка появляется, когда не различают первую и вторую координаты точки. Проверьте себя вопросами «что подставляют?» и «что получают?».

Записывают несколько значений функции для одного аргумента и всё равно называют зависимость функцией. Причина — забыто условие единственности результата. Для проверки проведите вертикальную линию или посмотрите, не повторяется ли x с разными y.

Забывают исключить деление на ноль или отрицательное подкоренное выражение. Обычно сразу начинают подставлять числа, не исследовав формулу. Сначала выпишите ограничения, решите соответствующие неравенства и только потом вычисляйте.

Считают область определения областью значений. Область определения описывает допустимые x, а область значений — получаемые y. Полезно помнить направление чтения: от x к y и от оси x к оси y.

Связь с другими темами

Для работы с функциями нужны координатная плоскость, переменные, формулы, уравнения и неравенства. Они помогают подставлять числа, находить ограничения и читать координаты точек. Без этих навыков трудно построить или исследовать график.

Понятие функции понадобится при изучении линейной, квадратичной, обратной и других функций. Оно используется при построении графиков и решении прикладных задач, где одна величина зависит от другой. Например, функцией можно описать путь, стоимость покупки или изменение температуры.

Что запомнить

• Функция каждому допустимому x ставит в соответствие единственное y.
• Аргумент обозначают x, значение функции — f(x) или y.
• Функцию можно задать формулой, таблицей, графиком или словесно.
• График функции состоит из точек (x; f(x)).
• Область определения содержит допустимые значения аргумента.
• Область значений содержит все значения функции.
• Ограничения формулы нужно учитывать до вычисления значений.