§ 23. Удельное сопротивление. Реостаты

Определения и обозначения

Удельное сопротивление ρ — величина, которая характеризует материал проводника и показывает, насколько он препятствует прохождению тока. Она входит в формулу R = ρl/S, где l — длина, а S — площадь поперечного сечения проводника. Единица ρ — ом-метр (Ом·м); в таблицах для проводов часто используют Ом·мм²/м. По удельному сопротивлению можно сравнивать материалы и рассчитывать сопротивление проводов.

Сопротивление проводника R показывает, насколько конкретный проводник препятствует электрическому току. Его измеряют в омах (Ом). Сопротивление зависит от материала, длины и площади поперечного сечения провода, поэтому значение R относится к определённому проводнику. Это понятие нужно, чтобы рассчитывать ток в цепи и понимать, как её элементы влияют на него.

Реостат — прибор, с помощью которого регулируют силу тока, изменяя сопротивление участка электрической цепи. Он не производит ток, а меняет условия его прохождения. При увеличении сопротивления участка сила тока в цепи уменьшается. Реостат применяют, когда требуется плавно менять ток, например при настройке электрического прибора.

Ползунковый реостат — реостат, в котором проволока соединена с подвижным контактом, или ползунком. При перемещении ползунка меняется длина проволоки, включённой в цепь. Из-за этого изменяется сопротивление реостата, но материал проволоки остаётся тем же. Такое устройство позволяет менять ток, не заменяя детали цепи.

Как это устроено

Проводники из разных материалов могут иметь одинаковую длину и одинаковую площадь сечения, но всё равно по-разному препятствовать току. Причина в том, что материалы устроены неодинаково: зарядам в них двигаться бывает легче или труднее. Для сравнения материалов исключают влияние размеров и используют удельное сопротивление ρ. Чем больше ρ, тем больше сопротивление проводника при тех же длине и сечении.

Размеры проводника влияют на сопротивление по-разному. Если материал и площадь сечения не меняются, более длинный проводник имеет большее сопротивление: зарядам нужно пройти больший путь. Если длина и материал одинаковы, более толстый проводник имеет меньшее сопротивление, потому что его площадь сечения больше и движение зарядов распределяется по большему объёму. Обе зависимости объединяет формула R = ρl/S: длина l стоит в числителе, а площадь S — в знаменателе.

Удельное сопротивление зависит от материала и его температуры. При изменении температуры свойства вещества меняются, поэтому меняется и ρ. Однако оно не становится больше просто оттого, что конкретный провод длиннее или тоньше: эти размеры учитываются отдельно, через l и S. Так можно отличить характеристику материала от сопротивления готового проводника.

В ползунковом реостате ток проходит по проволоке от одного электрического контакта до другого. Перемещая ползунок, выбирают, какая длина проволоки будет включена в цепь. Если включённый участок становится длиннее, его сопротивление возрастает; если короче — уменьшается. Удельное сопротивление самой проволоки при этом не меняется, поскольку материал остаётся прежним.

Реостат включают последовательно с другими элементами цепи: тогда через него и эти элементы проходит один и тот же ток. Когда сопротивление реостата увеличивают, растёт общее сопротивление цепи, и при неизменном напряжении сила тока уменьшается. Если сопротивление реостата уменьшить, ток возрастёт. Значит, изменяя положение ползунка, можно регулировать силу тока в цепи.

Удельное сопротивление некоторых материалов

Чтобы сравнить материалы, достаточно сопоставить значения ρ: при одинаковых размерах большее значение означает большее сопротивление. Значения в таблице приблизительные и относятся к определённой температуре. Для расчёта по формуле R = ρl/S с этими единицами берите длину в метрах, а площадь — в квадратных миллиметрах.

Разбор задач

Задача 1. Два проводника сделаны из одного материала и имеют одинаковое сечение. Один проводник вдвое длиннее другого. Сравним их сопротивления. Поскольку материал и площадь сечения одинаковы, в формуле R = ρl/S меняется только длина: сопротивление прямо пропорционально ей.

1. Обозначим короткий проводник длиной l и сопротивлением R₁.
2. Длина второго проводника равна 2l, поэтому R₂ = ρ·2l/S.
3. Сравним с R₁ = ρl/S: получаем R₂ = 2R₁.

Ответ: сопротивление длинного проводника вдвое больше. При таком сравнении нет необходимости знать конкретное значение удельного сопротивления или длины.

Задача 2. Найдём сопротивление медного проводника длиной 20 м и площадью сечения 2 мм². По таблице возьмём ρ = 0,017 Ом·мм²/м. Единицы уже согласованы с табличными, поэтому можно подставлять значения в формулу.

1. Запишем формулу: R = ρl/S.
2. Подставим данные: R = 0,017·20/2.
3. Выполним вычисление: R = 0,17 Ом.

Ответ: сопротивление проводника равно 0,17 Ом. Если бы площадь была задана в м², её пришлось бы перевести в мм² или выбрать другие согласованные единицы для всей формулы.

Задача 3. Найдём площадь сечения алюминиевого проводника длиной 10 м и сопротивлением 0,28 Ом. Для алюминия возьмём ρ = 0,028 Ом·мм²/м. Поскольку неизвестно S, сначала преобразуем формулу, а затем проверим, что подставляем согласованные единицы.

1. Начнём с R = ρl/S и умножим обе части на S: RS = ρl.
2. Разделим на R: S = ρl/R.
3. Подставим: S = 0,028·10/0,28 = 1 мм².

Ответ: площадь поперечного сечения равна 1 мм². Единицы сокращаются правильно: (Ом·мм²/м)·м/Ом = мм².

Типичные ошибки

Путать удельное сопротивление с сопротивлением провода. ρ относится к материалу, а R — к конкретному проводнику с определёнными размерами. Ошибку допускают, потому что обе величины связаны с препятствием для тока. Проверьте себя: в формуле R = ρl/S сопротивление меняется при изменении l или S, даже если материал и ρ прежние.

Считать, что сопротивление растёт с увеличением площади сечения. Так может показаться, если забыть, что толстый провод легче пропускает ток. Площадь S стоит в знаменателе формулы, поэтому её увеличение уменьшает R. Для проверки проследите, что произойдёт с дробью ρl/S, если знаменатель станет больше.

Подставлять несогласованные единицы. Например, табличное значение ρ в Ом·мм²/м нельзя использовать, подставив площадь в м² без перевода единиц. Такая ошибка меняет результат во много раз, хотя сами вычисления могут быть верными. Перед расчётом выпишите единицы всех величин и убедитесь, что они сокращаются до омов.

Думать, что ползунок меняет удельное сопротивление. При перемещении контакта материал проволоки не меняется, поэтому её удельное сопротивление остаётся прежним. Меняется длина участка проволоки, включённого в цепь, а значит, и сопротивление этого участка. Проверьте себя по формуле: ползунок изменяет l, но не ρ.

Связь с другими темами

Для работы с темой нужно знать, что такое электрический ток, сила тока, напряжение и сопротивление, а также понимать последовательное соединение элементов цепи. Формула R = ρl/S помогает рассчитывать сопротивление проводника по материалу и размерам, поэтому она пригодится при решении задач об электрических цепях и выборе проводов. Реостат применяют для регулирования силы тока; изменение сопротивления за счёт длины проводника лежит и в основе работы переменных резисторов.

Что запомнить

• Сопротивление проводника определяется материалом, длиной и площадью поперечного сечения.
• Формула сопротивления однородного проводника: R = ρl/S.
• Удельное сопротивление обозначают ρ; его значение зависит от материала.
• При увеличении длины проводника его сопротивление увеличивается.
• При увеличении площади поперечного сечения сопротивление уменьшается.
• Реостат регулирует силу тока изменением сопротивления цепи.
• В ползунковом реостате перемещение контакта меняет длину включённой проволоки.