"Физика", Андрюшечкин С.М.
Механическая энергия помогает описывать движение тел и их положение, а также работу растянутой или сжатой пружины. Она складывается из кинетической энергии движения и потенциальной энергии, связанной с положением тела или деформацией. Формулы этих энергий можно получить через работу сил: так становится понятно, откуда берутся квадрат скорости и квадрат деформации. Разберём обозначения, вывод формул и применение на задачах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Кинетическая энергия — энергия тела, обусловленная его движением. Её рассчитывают по формуле Eк = mv²/2, где m — масса тела в килограммах, а v — скорость в метрах в секунду. Квадрат скорости показывает, что при увеличении скорости энергия растёт особенно быстро. Эта формула позволяет сравнивать энергию движущихся тел и рассчитывать, какую работу может совершить тело при торможении.
Потенциальная энергия тела в поле тяжести связана с его положением относительно выбранного уровня. Формула Eп = mgh содержит массу m, высоту h над этим уровнем и ускорение свободного падения g. Чем выше поднято тело и чем больше его масса, тем больше его потенциальная энергия. Она нужна, чтобы описывать возможность совершения работы при опускании тела.
Потенциальная энергия упруго деформированной пружины — энергия, запасённая при её растяжении или сжатии. Её вычисляют по формуле Eупр = kx²/2, где k — жёсткость пружины в Н/м, а x — величина деформации в метрах. Чем жёстче пружина и сильнее она деформирована, тем больше запас энергии. Эта формула помогает оценить работу, которую пружина сможет совершить, возвращаясь к исходной форме.
Механическая энергия — сумма кинетической и потенциальной энергий тела или системы тел. Для простого случая записывают Eмех = Eк + Eп, причём в Eп учитывают подходящий вид потенциальной энергии. Если в задаче есть высота и деформированная пружина, складывать нужно все соответствующие составляющие. Такое описание показывает, как энергия связана и с движением, и с положением тел.
Чтобы вывести формулу кинетической энергии, рассмотрим тело массой m, которое разгоняется из состояния покоя силой F. Работа постоянной силы на пути s равна A = Fs, а по второму закону Ньютона F = ma. При постоянном ускорении скорость и путь связаны соотношением v² = 2as. Подставив его в работу, получим A = mas = mv²/2, поэтому работа разгона равна приобретённой кинетической энергии.
Работа силы тяжести зависит от того, насколько меняется высота, а не от формы траектории. При опускании тела на высоту h сила тяжести совершает работу A = mgh: масса определяет силу тяжести, а высота — перемещение вдоль направления этой силы. При подъёме работа силы тяжести имеет противоположный знак, потому что сила направлена вниз. Поэтому удобно считать, что поднятое тело получает потенциальную энергию Eп = mgh, которая при падении может перейти в другие виды энергии.
Энергия пружины связана с работой, которую нужно совершить, чтобы её деформировать. По закону Гука сила упругости по модулю равна F = kx, поэтому в начале растяжения она мала, а с увеличением x возрастает. Работа при таком изменении силы — площадь под графиком F от x; график является прямой, а площадь под ним — треугольник с основанием x и высотой kx. Его площадь равна kx²/2, это и есть запасённая энергия Eупр.
Кинетическая энергия описывает движение, а потенциальная — положение тела или деформацию, поэтому при движении одной системы эти составляющие могут изменяться. Например, при падении тела его высота и Eп уменьшаются, а скорость и Eк обычно растут. Если учитывать только механические взаимодействия, сумма Eк и Eп остаётся постоянной: энергия переходит из одной формы в другую. В реальных условиях трение и сопротивление воздуха могут передавать часть энергии другим телам и превращать её во внутреннюю энергию.
Нулевой уровень потенциальной энергии тяжести выбирают условно: им может быть пол, земля или другая удобная поверхность. При смене уровня меняется численное значение Eп, но разность энергий между двумя положениями остаётся прежней. Для пружины отсчёт другой: x измеряют от её недеформированного состояния, где запасённую энергию принимают равной нулю. Поэтому сначала определяют, какое положение принято за начало отсчёта, и только потом подставляют величины в формулу.
| Вид энергии | Формула | От чего зависит | Обозначения |
|---|---|---|---|
| Кинетическая энергия | Eк = mv²/2 | От массы и квадрата скорости | m — масса; v — скорость |
| Потенциальная энергия тела в поле тяжести | Eп = mgh | От массы, ускорения свободного падения и высоты | m — масса; g — ускорение свободного падения; h — высота |
| Потенциальная энергия упруго деформированной пружины | Eупр = kx²/2 | От жёсткости пружины и квадрата деформации | k — жёсткость; x — деформация |
| Механическая энергия | Eмех = Eк + Eп | От кинетической и потенциальной энергий системы | Eк — кинетическая; Eп — потенциальная энергия |
Сначала выберите строку, которая соответствует ситуации: движение, высота или деформация пружины. Затем проверьте единицы величин и подставьте их в формулу; высоту и деформацию указывают в метрах. Если нужно найти механическую энергию, вычислите нужные составляющие и сложите их в джоулях.
Тело массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с. Найдём его кинетическую энергию, используя формулу Eк = mv²/2. Скорость дана в единицах СИ, поэтому переводить её не требуется. Важно сначала возвести скорость в квадрат, а затем выполнить умножение и деление.
Ответ: кинетическая энергия тела равна 9 Дж. Единица согласуется с тем, что масса была выражена в килограммах, а скорость — в метрах в секунду. Если бы скорость увеличили в два раза, энергия стала бы в четыре раза больше, а не в два.
Груз массой 0,5 кг поднят на высоту 4 м над выбранным уровнем; примем g = 10 м/с². Нужно найти потенциальную энергию тяжести. Поскольку высота уже отсчитана от указанного уровня, можно непосредственно применить формулу Eп = mgh. Если изменить нулевой уровень, значение энергии изменится, поэтому условие об уровне необходимо сохранять.
Ответ: потенциальная энергия груза равна 20 Дж относительно выбранного уровня. Если бы за нулевой уровень взяли точку на 1 м выше, высота груза над ним стала бы 3 м. Тогда расчёт дал бы другое значение Eп, хотя физическая разность энергии при перемещении осталась бы той же.
Пружина жёсткостью 200 Н/м растянута на 0,1 м. Найдём запасённую энергию и выясним, что произойдёт при удвоении растяжения. Для пружины подходит формула Eупр = kx²/2, потому что энергия связана с упругой деформацией. Единицы уже согласованы: жёсткость дана в Н/м, деформация — в метрах.
Ответ: в пружине запасён 1 Дж; при растяжении 0,2 м энергия станет 4 Дж. Результат можно проверить, подставив новые данные: Eупр = 200 · 0,2² / 2 = 4 Дж. Такая проверка показывает, почему нельзя считать энергию прямо пропорциональной растяжению.
Запись Eк = mv² без делителя 2 приводит к энергии, вдвое большей правильной. Ошибка возникает, если запомнить только зависимость от массы и квадрата скорости, не разобрав вывод через работу силы. Проверьте себя: подстановка в формулу Eк = mv²/2 должна давать единицы Дж, а численный пример разгона из состояния покоя подтверждает множитель ½.
Подстановка высоты без указания нулевого уровня может создать впечатление, что потенциальная энергия имеет одно неизменное значение. На самом деле уровень выбирают условно, и h — это расстояние именно от него. Запишите, от какой поверхности отсчитывается высота, и не путайте абсолютное значение Eп с изменением потенциальной энергии при перемещении.
В формуле Eупр = kx²/2 иногда оставляют деформацию в сантиметрах или забывают возвести её в квадрат. Так происходит из-за привычки подставлять число из условия без перевода единиц и невнимательного чтения формулы. Перед вычислением переведите x в метры, запишите x² отдельно и проверьте, что при удвоении деформации энергия возрастает в четыре раза.
При сложении энергий бывает, что берут величины для разных тел или системы, а иногда складывают числа, выраженные в разных единицах. Это возможно, если не обозначить, к какому объекту относится каждая энергия, и не проверить единицы измерения. Перед вычислением Eмех укажите рассматриваемое тело или систему, используйте соответствующие составляющие и переведите все значения энергии в джоули.
Для вывода формул нужны понятия работы силы, скорости, массы и ускорения свободного падения. Вывод энергии пружины опирается на закон Гука: сила упругости меняется вместе с деформацией. Эти знания помогают понять не только вид формул, но и причины зависимости энергии от движения, высоты или растяжения.
Формулы применяют при изучении закона сохранения механической энергии и решении задач о движении тел. Они помогают проследить, как энергия переходит из потенциальной в кинетическую и обратно, а также вычислить работу пружины. При наличии трения нужно учитывать, что механическая энергия системы может переходить во внутреннюю энергию.
Почему в формуле кинетической энергии есть делитель 2?
При разгоне работа силы равна изменению кинетической энергии. Скорость увеличивается постепенно, поэтому средняя скорость при постоянном ускорении вдвое меньше конечной; из этого при выводе появляется делитель 2. Формула имеет вид Eк = mv²/2.
Откуда отсчитывают высоту для расчёта потенциальной энергии?
Высоту отсчитывают от выбранного нулевого уровня: например, от пола, земли или поверхности стола. Поэтому значение Eп = mgh зависит от выбора этого уровня, а изменение потенциальной энергии при перемещении не зависит.
Почему потенциальную энергию пружины нельзя рассчитывать по формуле mgh?
Формула mgh описывает энергию тела в поле тяжести и зависит от массы и высоты. Энергия пружины связана с её деформацией и жёсткостью, поэтому для неё используют Eупр = kx²/2.
В каких единицах нужно подставлять жёсткость пружины и её деформацию?
Жёсткость k должна быть выражена в ньютонах на метр (Н/м), а деформация x — в метрах. Если растяжение дано в сантиметрах, его сначала переводят в метры; результат энергии получится в джоулях.
Как найти механическую энергию тела, если известны его скорость и высота?
Сначала найдите кинетическую энергию Eк = mv²/2 и потенциальную энергию Eп = mgh относительно выбранного уровня. Затем сложите их: Eмех = Eк + Eп. Масса тела и все значения должны быть заданы в согласованных единицах.
§ 14. Вывод формул для расчёта механической энергии
