"Физика. Базовый и профильный уровни", Тихомирова С.А., Яворский Б.М.
Центр тяжести — точка, в которой удобно считать приложенной равнодействующую сил тяжести, действующих на все части тела. Зная её положение, можно исследовать равновесие и устойчивость предметов, а также рассчитывать положение центра тяжести составных систем. У однородного симметричного тела он совпадает с центром симметрии, но в общем случае зависит от распределения массы и может находиться даже вне материала тела.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Центр тяжести — точка, к которой можно приложить равнодействующую сил тяжести, действующих на части тела. Такое представление позволяет заменить множество распределённых сил одной силой при изучении движения и равновесия тела. Оно упрощает расчёты, хотя масса тела физически не переносится в эту точку.
Сила тяжести — сила, с которой Земля притягивает тело; у тела конечных размеров её действие распределено по объёму. На каждый небольшой участок тела действует сила, поэтому при расчётах учитывают их общий эффект. Для обычных школьных задач его представляют равнодействующей.
Линия действия силы тяжести — прямая, проходящая через центр тяжести в направлении силы тяжести. Она показывает, где проходит сила, когда тело заменяют одной равнодействующей. Это понятие помогает находить центр тяжести подвешенной пластинки и проверять условие равновесия.
Центр масс — точка, положение которой определяется распределением массы тела. Она помогает описывать движение тела или системы так, как если бы движение всей массы было сосредоточено в одной точке. В однородном поле тяжести центр масс совпадает с центром тяжести.
Сила тяжести действует не только на одну точку, а на каждую часть тела. Эти силы можно заменить равнодействующей, если сохранить их общий эффект: одну и ту же силу и то же действие на вращение тела. Точка приложения равнодействующей и называется центром тяжести. Поэтому при расчётах тело удобно мысленно заменить моделью, где сила тяжести приложена в одной точке, не забывая, что само тело остаётся распределённым.
Положение центра тяжести зависит от того, как масса размещена относительно формы тела. У однородных симметричных тел симметричные части одинаково влияют на положение равнодействующей, поэтому она проходит через центр симметрии. Например, у однородной прямоугольной пластинки это пересечение диагоналей. Если масса распределена неравномерно, её более тяжёлые участки сильнее влияют на положение центра тяжести, и геометрический центр может с ним не совпасть.
Центр тяжести плоской пластинки неправильной формы можно найти с помощью отвеса — нити с небольшим грузом, которая показывает вертикальное направление. Подвесьте пластинку за выбранную точку и дождитесь, пока она перестанет раскачиваться: при равновесии центр тяжести должен лежать на вертикали через подвес. Проведите эту линию на пластинке, затем повторите опыт с другой точкой подвеса. Пересечение двух вертикалей даёт искомую точку; дополнительная линия позволяет проверить результат.
Другой способ — уравновесить тело на опоре. Если тело покоится и не начинает вращаться, линия действия силы тяжести проходит через опору: иначе сила создавала бы момент и поворачивала тело. Поэтому перемещая узкую опору под телом, можно найти положение, при котором оно балансирует. Для точного результата опора должна быть достаточно узкой, а тело — неподвижным в момент наблюдения.
При повороте или перемещении тела его центр тяжести перемещается вместе с ним: положение точки связано с тем, как масса распределена внутри самого тела. Но эта точка не обязательно принадлежит материалу. У кольца равномерно расположенные части уравновешивают друг друга, поэтому центр тяжести оказывается в центре отверстия. Так же он может быть в пустом пространстве у дугообразных и других тел с подходящей формой.
| Тело или способ | Где находится центр тяжести | Как определить |
|---|---|---|
| Однородное тело с центром симметрии | В центре симметрии, если форма и распределение массы соответствуют этой симметрии. | Найти центр симметрии геометрически; например, у прямоугольника это пересечение диагоналей. |
| Однородная пластинка произвольной формы | В точке пересечения вертикалей, проведённых при подвешивании за разные точки. | Подвесить пластинку за несколько точек, каждый раз отметить направление отвеса через подвес. |
| Тело с неоднородным распределением массы | Ближе к участкам, где сосредоточена большая доля массы. | Определить массы и координаты частей, затем рассчитать средневзвешенную координату. |
| Полое или кольцеобразное тело | Может лежать в пустом пространстве внутри тела. | Использовать симметрию либо эксперимент с подвешиванием или уравновешиванием. |
Сначала определите, однородно ли тело и есть ли у него подходящая симметрия: тогда положение центра можно установить без опыта. Для пластинки сложной формы удобнее подвешивание, а для составного тела с известными массами — расчёт. Таблица помогает выбрать способ, но геометрический центр подходит только при выполнении условий симметрии и однородности.
Условие: длина пластинки равна 30 см, ширина — 10 см. Нужно указать положение её центра тяжести. Пластинка однородная, поэтому масса распределена одинаково, а прямоугольник обладает центром симметрии. Для координат удобно выбрать начало в одном из углов.
Ответ: центр тяжести находится на пересечении диагоналей, то есть на расстоянии 15 см от торца и 5 см от длинной стороны, если отсчитывать от выбранного угла.
Условие: плоскую пластинку подвесили сначала за одну точку, затем за другую. Нужно определить её центр тяжести по отвесу. В каждом положении пластинка свободно поворачивается и останавливается в равновесии. Значит, направление силы тяжести можно использовать, чтобы найти прямую, на которой находится искомая точка.
Ответ: центр тяжести находится в точке пересечения вертикалей. Если линии не пересеклись точно из-за погрешности измерений, повторяют опыт и ориентируются на область их пересечения.
Условие: тело состоит из двух частей с массами m₁ и m₂, центры тяжести которых имеют координаты x₁ и x₂. Требуется найти координату центра тяжести всей системы. Каждая часть действует так, как если бы её сила тяжести была приложена в её собственном центре тяжести. Поэтому координата общего центра зависит не только от расстояния между частями, но и от их масс.
Ответ: xцт = (m₁x₁ + m₂x₂)/(m₁ + m₂). Чтобы найти координату по другой оси, применяют ту же формулу к координатам y₁ и y₂.
Ошибка: считать, что центр тяжести всегда внутри тела. Такое представление возникает потому, что у многих сплошных предметов центр тяжести действительно находится в материале. Но равнодействующая определяется балансом сил, а не наличием вещества в точке её приложения. Проверьте себя на примере кольца: у симметричного кольца центр тяжести расположен в центре отверстия.
Ошибка: принимать геометрический центр любого тела за центр тяжести. Геометрический центр подходит, если форма имеет нужную симметрию, а масса распределена равномерно. У предмета сложной формы или с тяжёлой деталью с одной стороны эти условия нарушены. Перед применением симметрии проверьте и форму, и распределение массы.
Ошибка: считать, что в центре тяжести сосредоточена масса. Этому способствует упрощённая модель, в которой одну силу прикладывают к одной точке. На самом деле вещество остаётся распределённым по всему телу, а точка лишь описывает действие равнодействующей силы тяжести. Проверка простая: центр тяжести тонкого кольца лежит в пустом месте, где массы нет.
Ошибка: при подвешивании проводить отвес не через точку подвеса. Если смотреть только на вертикаль рядом с телом, легко забыть, что отвес показывает линию действия силы тяжести, проходящую через точку подвеса. Тогда отметка не даст верной линии для поиска центра. Всегда отмечайте вертикаль именно на пластинке и продолжайте её через место, за которое пластинка подвешена.
Для изучения центра тяжести нужны понятия силы тяжести, равнодействующей сил и условия равновесия тела. Если линия действия силы не проходит через опору, появляется вращательное действие силы — момент, и тело может повернуться. Положение центра тяжести используют при исследовании устойчивости: его перемещение влияет на то, сохранит ли тело равновесие. Для составных систем координаты центров частей и их массы позволяют рассчитывать общий центр масс.
Может ли центр тяжести находиться вне тела?
Да. Например, у однородного кольца центр тяжести находится в его центре, где материала нет. Это не означает, что там сосредоточена масса: точка лишь задаёт положение равнодействующей сил тяжести.
Всегда ли центр тяжести совпадает с геометрическим центром?
Нет. Совпадение получается у однородных тел с подходящей симметрией. Если форма или распределение массы несимметричны, центр тяжести может быть смещён относительно геометрического центра.
Чем центр тяжести отличается от центра масс?
Центр масс определяется распределением массы тела, а центр тяжести — положением равнодействующей сил тяжести. В однородном поле тяжести эти точки совпадают; если поле неоднородно, совпадение не гарантировано.
Как найти центр тяжести пластинки неправильной формы?
Подвесьте пластинку за одну точку и проведите на ней вертикаль по отвесу через точку подвеса. Затем подвесьте её за другую точку и проведите вторую вертикаль. Их пересечение указывает на центр тяжести.
Почему при подвешивании центр тяжести оказывается под точкой подвеса?
Подвешенное тело поворачивается, пока момент силы тяжести не исчезнет и тело не установится в равновесии. В этом положении линия действия силы тяжести проходит через точку подвеса. При устойчивом равновесии центр тяжести оказывается ниже неё.
**§ 21. Центр тяжести
