§ 66. Электрическая ёмкость. Энергия заряженного конденсатора

Определения и обозначения

Электрическая ёмкость проводника — отношение его заряда q к потенциалу φ: C = q/φ. Её обозначают буквой C, а измеряют в фарадах (Ф); 1 Ф = 1 Кл/В. Ёмкость показывает, насколько большой заряд может иметь проводник при данном потенциале. Это позволяет сравнивать способность разных проводников накапливать заряд.

Конденсатор — система из двух проводников, разделённых слоем диэлектрика, то есть вещества, которое плохо проводит электрический ток. Проводники называют обкладками, и их заряды равны по модулю, но противоположны по знаку: +q и −q. Такое устройство позволяет разделить заряды и создать электрическое поле между обкладками. Поэтому конденсатор способен запасать энергию.

Электрическая ёмкость конденсатора — отношение модуля заряда q одной обкладки к напряжению U между обкладками: C = q/U. Напряжение показывает разность потенциалов обкладок, а заряд указывают для одной из них, не складывая заряды обеих. Единицей ёмкости также служит фарад. Формула помогает находить одну из трёх величин, если известны две другие.

Энергия заряженного конденсатора — энергия электрического поля, созданного зарядами его обкладок. Её обозначают W и измеряют в джоулях. Когда конденсатор разряжается, поле ослабевает, а запасённая энергия может перейти в другие виды энергии. Знание W позволяет оценить, какую работу способен совершить разряжающийся конденсатор.

Как это устроено

Если сообщить проводнику заряд, он создаёт вокруг себя электрическое поле и приобретает потенциал. Чем больше заряд при том же потенциале, тем больше ёмкость: она выражает связь между свойством проводника и его зарядом. На потенциал влияет не только заряд, но и форма проводника, его размеры и расположение окружающих тел. Поэтому ёмкость отдельного проводника не означает, что заряд можно увеличивать без изменения других условий.

Конденсатор устроен так, что при зарядке электроны переходят с одной обкладки на другую. На одной появляется избыток электронов, а на другой — их недостаток; поэтому заряды равны по модулю и противоположны по знаку. Между обкладками возникает электрическое поле и разность потенциалов, то есть напряжение. Диэлектрик разделяет проводники и не даёт зарядам быстро нейтрализоваться через пространство между ними.

У плоского конденсатора две плоские параллельные обкладки. Его ёмкость можно выразить формулой C = ε₀εS/d, где S — площадь одной обкладки, d — расстояние между ними, ε — относительная диэлектрическая проницаемость вещества, а ε₀ — электрическая постоянная. При увеличении площади поле распределяется по большей поверхности, и при том же напряжении можно разделить больший заряд. Увеличение расстояния ослабляет связь между обкладками и уменьшает ёмкость; диэлектрик также влияет на величину поля и ёмкость.

Энергию конденсатора находят по работе, затраченной на его зарядку. Сначала напряжение почти равно нулю, затем оно постепенно растёт, потому что уже перенесённые заряды создают поле, которому приходится противодействовать при переносе новых. Значит, нельзя считать, что весь заряд переносится при конечном напряжении U. Среднее напряжение за время зарядки равно U/2, поэтому работа равна W = qU/2.

Из определения ёмкости следует q = CU. Подставив это выражение в W = qU/2, получаем W = CU²/2; если выразить U через заряд, получится W = q²/(2C). Эти формулы равносильны, но удобство зависит от известных величин: выбирай вариант, где все данные уже есть. Во всех случаях результат энергии выражается в джоулях, если величины подставлены в единицах СИ.

Электрическая ёмкость и энергия конденсатора

Сначала определи, какую величину требуется найти, затем выбери строку с подходящей формулой. Если задача касается изменения расстояния или площади, начни с зависимости ёмкости, а после этого найди, как изменятся заряд и энергия. Не смешивай фарад и джоуль: это единицы разных величин.

Разбор задач

Задача 1. Конденсатору сообщили заряд 6 мкКл, напряжение между обкладками равно 3 В. Найдём ёмкость. В формуле C = q/U заряд берётся по модулю для одной обкладки. Переведём его в кулоны, чтобы получить ответ в фарадах.

1. Записываем данные: q = 6 мкКл = 6 · 10⁻⁶ Кл, U = 3 В.
2. Подставляем в формулу: C = q/U = (6 · 10⁻⁶ Кл)/(3 В).
3. Выполняем деление: C = 2 · 10⁻⁶ Ф = 2 мкФ.

Ответ: ёмкость конденсатора равна 2 мкФ. Проверка единиц даёт Кл/В, то есть фарад. Заряд одной обкладки использован по модулю.

Задача 2. Ёмкость конденсатора равна 4 мкФ, напряжение на нём — 100 В. Определим запасённую энергию. Из трёх формул удобна W = CU²/2, потому что в условии даны C и U. Микрофарады нужно перевести в фарады, а напряжение возвести в квадрат.

1. Записываем данные: C = 4 мкФ = 4 · 10⁻⁶ Ф, U = 100 В.
2. Подставляем: W = CU²/2 = (4 · 10⁻⁶ · 100²)/2 Дж.
3. Вычисляем: 100² = 10 000, поэтому W = 0,02 Дж.

Ответ: энергия равна 0,02 Дж. Если оставить ёмкость числом 4 без перевода, результат окажется завышен в миллион раз. В формуле есть коэффициент 1/2.

Задача 3. Площадь обкладок плоского конденсатора и диэлектрик не меняются, расстояние между обкладками увеличивают вдвое. Конденсатор остаётся подключённым к источнику постоянного напряжения. Нужно определить изменение ёмкости, заряда и энергии. Поскольку напряжение фиксировано, после изменения ёмкости используем q = CU и W = CU²/2.

1. Из C = ε₀εS/d следует: при увеличении d вдвое ёмкость уменьшается вдвое.
2. При постоянном U из q = CU следует, что заряд тоже уменьшается вдвое.
3. Из W = CU²/2 при неизменном U следует, что энергия уменьшается вдвое.

Ответ: ёмкость, заряд и энергия станут в два раза меньше. Здесь существенно условие о подключении к источнику: оно поддерживает постоянное напряжение. При других условиях изменение заряда или энергии нужно было бы анализировать отдельно.

Типичные ошибки

Ошибочно считать, что суммарный заряд конденсатора равен q. Заряды обкладок равны по модулю и противоположны, поэтому их сумма равна нулю, а q обозначает модуль заряда одной обкладки. Путаница возникает из-за того, что в формулах обычно записывают только положительное значение q. Проверь себя: укажи знаки зарядов, например +q и −q, и различай заряд обкладки и общий заряд системы.

Иногда считают, что ёмкость меняется вместе с зарядом или напряжением. Для данного конденсатора ёмкость задают его геометрия и диэлектрик; при изменении заряда обычно меняется и напряжение так, чтобы отношение q/U сохранялось. Путаница связана с тем, что C = q/U выглядит как формула, задающая зависимость от двух меняющихся величин. Проверь, не менялись ли конструкция конденсатора или вещество между обкладками.

В формуле энергии можно забыть множитель 1/2 и записать W = qU. Так ошибаются, если принимают напряжение в начале и конце зарядки за одно и то же; в действительности оно постепенно растёт от нуля до U. Поэтому среднее напряжение при переносе заряда равно U/2. Проверка: при любом способе расчёта должны получаться равносильные выражения W = qU/2, W = CU²/2 и W = q²/(2C).

Микрофарады и микрокулоны нельзя подставлять в формулы как фарады и кулоны. Приставка «микро» означает множитель 10⁻⁶, поэтому без перевода ответ может отличаться на несколько порядков. Такая ошибка часто скрывается за правильными вычислениями. Перед подстановкой перепиши данные в СИ, а после расчёта проверь, реалистичен ли масштаб результата.

Связь с другими темами

Для изучения ёмкости нужны понятия заряда, потенциала и напряжения, а также представления о работе электрического поля. Единицы СИ позволяют безошибочно подставлять величины в формулы. Позже ёмкость пригодится при рассмотрении соединений конденсаторов и цепей переменного тока, где важно понимать поведение конденсатора при изменении напряжения. Энергия заряженного конденсатора подводит к изучению энергии электрического поля.

Что запомнить

• Ёмкость проводника характеризует его способность накапливать заряд.
• Ёмкость конденсатора C = q/U.
• Единица электрической ёмкости — фарад: 1 Ф = 1 Кл/В.
• Ёмкость плоского конденсатора увеличивается с площадью обкладок и уменьшается с расстоянием между ними.
• Энергия заряженного конденсатора равна W = CU²/2.
• Для расчёта энергии также используют W = qU/2 и W = q²/(2C).