§ 32. Кинематика колебательного движения

Определения и обозначения

Гармоническое колебание — периодическое движение, при котором координата изменяется по закону синуса или косинуса: x(t) = A cos(ωt + φ₀). Синусоидальный закон возникает, например, как проекция равномерного движения точки по окружности на одну из осей. Он нужен, чтобы точно описывать повторяющееся движение и вычислять положение тела в любой момент.

Амплитуда A — наибольшее по модулю отклонение тела от положения равновесия. Поэтому координата при колебаниях заключена в пределах −A ≤ x ≤ A, а в крайних положениях равна A или −A. Амплитуда показывает размах движения, но не является координатой тела в произвольный момент.

Период T — время одного полного колебания, после которого движение повторяется. Частота ν — число полных колебаний за единицу времени, обычно за секунду. Эти величины связаны формулой ν = 1/T: чем больше длится одно колебание, тем меньше колебаний происходит за секунду.

Фаза ωt + φ₀ задаёт состояние колебательной системы в данный момент: её положение и направление движения. Начальная фаза φ₀ — значение фазы при t = 0, а циклическая частота ω показывает, как быстро изменяется фаза. За один период фаза увеличивается на 2π, поэтому ω = 2π/T.

Как это устроено

Положение тела при гармонических колебаниях записывают так: x(t) = A cos(ωt + φ₀). Параметр A задаёт максимальное отклонение, ω — скорость повторения движения, t — время, а φ₀ учитывает, с какого состояния началось наблюдение. Косинус нужен потому, что его значения плавно меняются от 1 до −1 и обратно, что соответствует движению между двумя крайними положениями.

Начальная фаза определяется начальными условиями, то есть координатой и скоростью при t = 0. Из закона движения следуют равенства x₀ = A cos φ₀ и v₀ = −ωA sin φ₀. Одинаковая координата может соответствовать движению в разных направлениях, поэтому для выбора фазы нужно учитывать не только x₀, но и знак начальной скорости.

Скорость — производная координаты по времени: v(t) = dx/dt = −ωA sin(ωt + φ₀). При дифференцировании косинус превращается в синус, а множитель ω показывает, насколько быстро меняется фаза. Синус и косинус сдвинуты на π/2, поэтому скорость опережает или отстаёт от координаты по фазе на четверть периода; её максимальный модуль равен vₘₐₓ = ωA.

Ускорение получают ещё одним дифференцированием: a(t) = dv/dt = −ω²A cos(ωt + φ₀). Поскольку A cos(ωt + φ₀) = x, получается a = −ω²x. Минус означает, что ускорение направлено противоположно смещению: если тело находится правее равновесия, ускорение направлено влево, и наоборот.

Координата, скорость и ускорение повторяются через один и тот же период T, но достигают экстремумов в разные моменты. В крайних положениях x = ±A, скорость равна нулю, а модуль ускорения максимален и равен ω²A. При прохождении равновесия x = 0 и a = 0, зато скорость имеет максимальный модуль ωA; ускорение всегда противоположно координате.

Кинематические величины при гармонических колебаниях

Сначала по таблице удобно определить нужную величину и её закон изменения. Затем подставляют известные A, ω, φ₀ и t, не забывая привести все величины к согласованным единицам. По амплитуде формулы можно сразу проверить предельные значения координаты, скорости и ускорения.

Разбор задач

Задача 1

Тело совершает гармонические колебания с амплитудой 4 см и периодом 2 с. Требуется найти циклическую частоту и частоту колебаний. Амплитуда в этих вычислениях не используется, потому что обе искомые величины определяются только периодом.

1. Найдём частоту: ν = 1/T = 1/2 с = 0,5 Гц. Это означает, что тело совершает половину полного колебания в среднем за секунду.
2. Вычислим циклическую частоту: ω = 2π/T = 2π/2 = π рад/с. Радиан — единица измерения угла, поэтому циклическая частота показывает изменение фазы в радианах за секунду.

Ответ: ν = 0,5 Гц; ω = π рад/с.

Задача 2

Координата задана законом x(t) = 0,06 cos(4πt), где время выражено в секундах, а координата — в метрах. Нужно определить амплитуду, период, частоту, координату и скорость при t = 0,25 с. Сначала считываем параметры из общего закона, затем вычисляем фазу и подставляем её в формулы.

1. Амплитуда A = 0,06 м, циклическая частота ω = 4π рад/с. Поэтому T = 2π/ω = 2π/(4π) = 0,5 с, а ν = 1/T = 2 Гц.
2. В момент t = 0,25 с фаза равна ωt = 4π · 0,25 = π. Тогда x = 0,06 cos π = −0,06 м, то есть тело находится в левом крайнем положении.
3. Скорость имеет вид v = −ωA sin(ωt) = −4π · 0,06 · sin π = 0 м/с. Нулевая скорость подтверждает, что в этот момент тело находится в крайнем положении.

Ответ: A = 0,06 м; T = 0,5 с; ν = 2 Гц; x = −0,06 м; v = 0.

Задача 3

Амплитуда равна 5 см, период — 0,8 с, а при t = 0 тело проходит равновесие в положительном направлении. Нужно записать законы координаты, скорости и ускорения, а затем найти их значения через 0,1 с. Условие о направлении движения необходимо, чтобы правильно выбрать начальную фазу.

1. При прохождении равновесия x₀ = 0, а движение в положительном направлении означает v₀ > 0. Удобно взять x = A sin(ωt), или в косинусной форме x = A cos(ωt − π/2), поэтому φ₀ = −π/2. Здесь A = 0,05 м, а ω = 2π/0,8 = 2,5π рад/с.
2. Получаем x = 0,05 sin(2,5πt), v = 0,125π cos(2,5πt), a = −0,3125π² sin(2,5πt). Эти формулы согласуются с начальными условиями: при t = 0 координата и ускорение равны нулю, а скорость положительна.
3. При t = 0,1 с фаза равна 2,5π · 0,1 = π/4. Поэтому x = 0,05 sin(π/4) ≈ 0,035 м, v = 0,125π cos(π/4) ≈ 0,278 м/с, а a = −0,3125π² sin(π/4) ≈ −2,18 м/с².

Ответ: x ≈ 0,035 м, v ≈ 0,278 м/с, a ≈ −2,18 м/с² через 0,1 с.

Типичные ошибки

Период и частоту иногда путают местами: считают, что ν = T. Ошибка возникает из-за того, что обе величины связаны с продолжительностью движения, но являются обратными. Проверьте размерность: период измеряется в секундах, частота — в герцах, и при увеличении T частота должна уменьшаться.

Амплитудой называют любое значение координаты в выбранный момент. Такое значение может быть меньше A и даже равно нулю, тогда как амплитуда остаётся постоянным максимальным отклонением. Для проверки найдите крайнее значение координаты по закону: оно должно быть равно A по модулю.

Скорость и ускорение записывают с тем же косинусом, что и координату, забывая о дифференцировании. При взятии производной появляются синус, множитель ω и, для ускорения, дополнительный знак минус. Проверьте формулы по крайним положениям: там скорость должна обращаться в ноль, а ускорение быть максимальным по модулю.

Иногда считают, что ускорение направлено туда же, куда смещено тело. Но равенство a = −ω²x содержит минус, поэтому ускорение всегда направлено к равновесию. Если координата положительна, ускорение должно быть отрицательным, и наоборот.

Связь с другими темами

Для понимания формул полезно знать равномерное движение по окружности: гармоническое колебание можно представить как его проекцию на ось. Также нужны связи T, ν и угловой скорости, умение читать графики и находить производные. Кинематическое описание затем применяется к пружинному и математическому маятникам, а также к колебательным волнам.

Что запомнить

• При гармонических колебаниях координата изменяется по синусоидальному закону.
• Амплитуда — максимальное по модулю отклонение от положения равновесия.
• Период и частота связаны равенством ν = 1/T.
• Циклическая частота равна ω = 2π/T.
• Максимальная скорость гармонического движения равна ωA.
• Ускорение связано с координатой формулой a = −ω²x и направлено к равновесию.