§ 22. Решение задач о движении взаимодействующих тел

Определения и обозначения

Система взаимодействующих тел — тела, движение которых рассматривают совместно и между которыми действуют силы взаимодействия. Например, при столкновении тележек системой будут обе тележки. Такой выбор позволяет учитывать силы попарно и составлять одно общее уравнение.

Замкнутая система — система, на которую внешние силы не действуют или их действием можно пренебречь. В задачах это часто означает гладкую поверхность, где трение мало, или короткий удар, когда внешние силы не успевают заметно изменить импульс. Только для такой системы непосредственно применяют закон сохранения импульса.

Импульс тела — векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость: p⃗ = mυ⃗. Направление импульса совпадает с направлением скорости, поэтому при движении по прямой его проекция может быть положительной или отрицательной. Импульс показывает, насколько движение тела трудно изменить.

Закон сохранения импульса утверждает: в замкнутой системе векторная сумма импульсов тел остаётся постоянной. Поэтому сумма импульсов до взаимодействия равна сумме импульсов после него: Σp⃗до = Σp⃗после. Закон связывает начальные и конечные скорости, даже если силы во время взаимодействия неизвестны.

Как это устроено

Сначала выбирают систему тел, потому что одна и та же сила может быть внутренней или внешней в зависимости от выбора. Если включить в систему оба взаимодействующих тела, сила первого на второе и сила второго на первое станут внутренними. Если оставить только одно тело, сила партнёра окажется внешней и импульс этого тела сам по себе сохраняться не будет.

Сохранение импульса следует из законов Ньютона. Для двух тел второй закон даёт изменения импульсов под действием сил, а третий закон утверждает, что силы взаимодействия равны и противоположны: F⃗₁₂ = −F⃗₂₁. Поэтому за один и тот же промежуток времени изменения импульсов складываются в ноль, и полный импульс системы остаётся прежним.

В движении вдоль одной прямой выбирают положительное направление оси, например вправо. Скорость вправо записывают со знаком плюс, а влево — со знаком минус. Тогда векторное равенство превращается в алгебраическое: m₁υ₁ + m₂υ₂ = m₁υ₁′ + m₂υ₂′, и направление автоматически учитывается знаками.

Одного уравнения импульсов бывает недостаточно, чтобы найти несколько неизвестных. К нему добавляют связь, вытекающую из условия: одинаковую скорость после слипания, равенство времени движения, формулу υ = υ₀ + at или связь перемещения s = υt для равномерного движения. Число независимых уравнений должно соответствовать числу неизвестных.

Ответ проверяют несколькими способами. Размерность скорости должна быть м/с, импульса — кг·м/с, а знак скорости должен соответствовать выбранному направлению. Полезно также рассмотреть предельный случай: если масса одного тела намного больше другой, тяжёлое тело при столкновении обычно меняет скорость слабее.

Выбор уравнений при решении задач о движении взаимодействующих тел

Таблица помогает быстро определить, какие тела включить в систему и какой закон выбрать первым. После записи основного закона проверьте, хватает ли данных для нахождения неизвестных, и при необходимости добавьте связь из условия задачи.

Разбор задач

Отталкивание двух брусков

Условие. Бруски массами 2 кг и 3 кг лежат на гладкой поверхности и после разрыва пружины разъезжаются. Первый брусок получил скорость 3 м/с, второй изначально покоился. Нужно найти скорость второго бруска.

1. Систему составляют оба бруска: внешним горизонтальным воздействием можно пренебречь. До разрыва суммарный импульс равен нулю.
2. Выберем направление движения первого бруска положительным. Тогда второй движется в противоположную сторону, и 2 · 3 + 3υ₂ = 0.
3. Отсюда υ₂ = −2 м/с. Минус показывает направление, а модуль скорости равен 2 м/с.

Ответ: второй брусок движется со скоростью 2 м/с в сторону, противоположную движению первого.

Неупругое столкновение тележек

Условие. Тележка массой 2 кг движется со скоростью 4 м/с и сталкивается с неподвижной тележкой массой 3 кг. После удара тележки движутся вместе. Требуется найти их общую скорость.

1. Выберем направление движения первой тележки положительным, поэтому её начальный импульс равен 2 · 4, а импульс второй тележки равен нулю.
2. После столкновения масса совместно движущихся тел равна 2 + 3 = 5 кг, а их скорость одинакова и обозначена υ.
3. По закону сохранения импульса: 2 · 4 = 5υ. Следовательно, υ = 1,6 м/с.

Ответ: общая скорость тележек равна 1,6 м/с и направлена в сторону движения первой тележки.

Попадание пули в подвешенный брусок

Условие. Пуля массой 10 г летит со скоростью 400 м/с и застревает в бруске массой 2 кг. Брусок подвешен на нити, поэтому после удара система поднимается. Нужно определить скорость сразу после удара и высоту подъёма.

1. На первом этапе рассматриваем короткий удар и систему «пуля плюс брусок». Масса пули 0,01 кг, поэтому 0,01 · 400 = (2 + 0,01)υ.
2. Получаем υ ≈ 1,99 м/с. Это скорость системы сразу после неупругого столкновения.
3. На втором этапе кинетическая энергия переходит в потенциальную: (2,01)υ²/2 = (2,01)gh. При g ≈ 10 м/с² h = υ²/(2g) ≈ 0,20 м.

Ответ: сразу после попадания скорость примерно 1,99 м/с, высота подъёма системы — около 0,20 м.

Типичные ошибки

Сохраняют импульс только одного тела. Так делают, забывая, что импульс сохраняется для всей замкнутой системы. Проверьте, включены ли в уравнение все взаимодействующие тела.

Не учитывают знаки проекций. Скорости направленных навстречу тел ошибочно записывают с одинаковыми знаками. Нарисуйте ось и поставьте минус перед скоростью, направленной против её положительного направления.

Применяют закон для незамкнутой системы. Заметная сила трения, сопротивления или стены меняет полный импульс выбранных тел. Перед решением перечислите внешние силы и оцените, можно ли ими пренебречь.

Путают массу системы с суммой скоростей и считают, что всегда сохраняется кинетическая энергия. Массы складываются, а скорости — нет; энергия сохраняется только при специальных условиях. При слипании тел используйте общую скорость и закон сохранения импульса.

Связь с другими темами

Для решения таких задач нужны второй и третий законы Ньютона, понятие импульса, проекции векторов на ось и навыки решения линейных уравнений. Без выбора направления оси трудно правильно учесть встречное движение тел.

Закон сохранения импульса используется при изучении реактивного движения, ударов и столкновений, баллистики и движения центра масс. В сложных задачах он часто работает вместе с законом сохранения механической энергии.

Что запомнить

• Сначала выберите систему тел и положительное направление оси.
• Внутренние силы не изменяют полный импульс замкнутой системы.
• В замкнутой системе векторная сумма импульсов сохраняется.
• В одномерной задаче направления движения учитывают знаками проекций скоростей.
• При неупругом столкновении импульс сохраняется, а механическая энергия обычно не сохраняется.
• Сложную задачу разбивайте на этапы и для каждого этапа выбирайте подходящий закон.